Estimate the derivative at the given \boldsymbol{x}-value by using a calculator.
11. f(x)=\frac{\cot \left(x^{2}\right)}{2} at x=-1.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a derivada de f(x)=\tfrac{\cot\bigl(x^{2}\bigr)}{2} no ponto x=-1. Vamos precisar lembrar a regra de derivação de \cot(u) e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando
f(x)=\frac{1}{2}\,\cot\bigl(x^{2}\bigr)
temos
f'(x)=\frac{1}{2}\,\bigl(-\csc^{2}(x^{2})\bigr)\cdot\bigl(2x\bigr) =-\,x\,\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 3

Para x=-1 substituímos na expressão de f'(x):
f'(-1)=-(-1)\,\csc^{2}\bigl((-1)^{2}\bigr) =\csc^{2}(1).

Passo 4

Usando calculadora em radianos:
\sin(1)\approx0,84147098, logo
\csc(1)=\frac{1}{\sin(1)}\approx1,1883951 \quad\Longrightarrow\quad \csc^{2}(1)\approx(1,1883951)^{2}\approx1,412.

Resposta

A estimativa para a derivada em x=-1 é aproximadamente 1,412.

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