Find the derivative at the given \boldsymbol{x}-value. Show your work!
8. f(x)=2 \operatorname{sec} x at x=\frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=2\operatorname{sec} x no ponto x=\tfrac{\pi}{4}. Vamos usar a regra do fator constante e a fórmula da derivada da função secante, que é
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 2

Aplicando a regra do fator constante, temos
f'(x)=2\;\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=2\,\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 3

Agora substituímos x=\tfrac{\pi}{4} em f'(x):
f'\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =2\,\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =2\cdot\sqrt{2}\cdot1 =2\sqrt{2}.

Resposta

2\sqrt{2}

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