Find the derivative at the given \boldsymbol{x}-value. Show your work!
9. f(x)=x \cot x at x=\frac{\pi}{6}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x\cot x
e pede a derivada em x=\tfrac{\pi}{6}. Vamos usar a regra do produto e a derivada de \cot x.

Passo 2

Pela regra do produto,
f'(x)=(x)'\cdot\cot x + x\cdot(\cot x)'.
Como (x)'=1 e (\cot x)'=-\csc^2 x, temos
f'(x)=\cot x - x\,\csc^2 x.

Passo 3

Agora avaliamos em x=\tfrac{\pi}{6}. Sabemos que
\cot\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)} =\sqrt{3}, \quad \csc\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\frac1{\sin(\pi/6)} =2,
logo \csc^2(\pi/6)=4. Substituindo em f'(x):
f'\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\sqrt{3} - \tfrac{\pi}{6}\cdot 4 =\sqrt{3} - \tfrac{2\pi}{3}.

Resposta

f'\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\sqrt{3}-\tfrac{2\pi}{3}.

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