Find the equations of both the normal line and the tangent line.
y=\tan x at x=\frac{\pi}{3}
Tangent: (
Normal: ",

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida por y=\tan x no ponto em que x=\tfrac{\pi}{3}. Para isso vamos precisar de dois ingredientes: o valor de y nesse ponto e o coeficiente angular da tangente, dado pela derivada de \tan x. A reta normal terá coeficiente angular igual ao negativo do inverso do coeficiente da tangente.

Passo 2

Calculamos primeiro a coordenada y e a derivada de y=\tan x.
y\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr)=\tan\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr)=\sqrt{3}.
A derivada é
y'=\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^2 x,
logo o coeficiente angular da tangente em x=\tfrac{\pi}{3} é
m_{\text{tan}} =y'\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\operatorname{sec}^2\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\Bigl(\frac{1}{\cos(\pi/3)}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{1}{1/2}\Bigr)^{2} =4.

Passo 3

A equação da reta tangente, usando a forma ponto-declive y - y_0 = m(x - x_0) com (x_0,y_0)=(\tfrac{\pi}{3},\sqrt{3}) e m=4, é
y - \sqrt{3} = 4\Bigl(x - \tfrac{\pi}{3}\Bigr).

Passo 4

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso de 4, ou seja, -\tfrac{1}{4}. Aplicando a forma ponto-declive com o mesmo ponto, obtemos
y - \sqrt{3} = -\tfrac{1}{4}\Bigl(x - \tfrac{\pi}{3}\Bigr).

Resposta

Tangent:
y - \sqrt{3} = 4\Bigl(x - \tfrac{\pi}{3}\Bigr).
Normal:
y - \sqrt{3} = -\tfrac{1}{4}\Bigl(x - \tfrac{\pi}{3}\Bigr).

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