(Estimativa via Teorema do Valor Médio) Considere f(x, y)= \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right). Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que
|f(0.1,0.2)-f(0,0)| \leq 0.3
Em seguida, encontre uma estimativa mais precisa utilizando a expressão exata do gradiente.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=\ln\left(1+x^{2}+y^{2}\right) e pede duas coisas:
Usar o Teorema do Valor Médio (no contexto de funções de várias variáveis) para mostrar que
|f(0.1,0.2)-f(0,0)| \leq 0,3.
Em seguida, obter uma estimativa mais precisa usando a expressão exata do gradiente de f.
Informações relevantes dadas:
O ponto inicial é (0,0).
O ponto final é (0.1,0.2).
A diferença de vetores é h=(0.1,0.2) e o seu comprimento é
\|h\|=\sqrt{0,1^{2}+0,2^{2}}=\sqrt{0,05}.
Passo 2
Vou lembrar a forma útil do Teorema do Valor Médio para funções escalares de várias variáveis (forma aplicada ao segmento): existe algum ponto c no segmento que liga a a b tal que
f(b)-f(a)=\nabla f\text{(c)}\cdot (b-a).
Dessa igualdade segue imediatamente a desigualdade
Agora faço uma estimativa simples, válida para todo ponto do segmento entre (0,0) e (0.1,0.2).
Para qualquer (x,y) nesse segmento temos |x|\le 0,1 e |y|\le 0,2. Além disso o denominador satisfaz 1+x^{2}+y^{2}\ge 1. Assim
(Usei uma cota simples e direta; a desigualdade fica até mais forte do que o exigido.)
Passo 4
Agora faço a estimativa mais precisa usando a expressão exata do gradiente e a parametrização do segmento. Considere a curva que vai de a=(0,0) a b=(0.1,0.2):
Essa é a estimativa mais precisa (na verdade é o valor exato do acréscimo).
Passo 5
Resumo das comparações:
A cota obtida pelo argumento com o Teorema do Valor Médio e estimativas simples foi |f(0.1,0.2)-f(0,0)|\le 0,1, que garante também a cota pedida \le 0,3.
A estimativa mais precisa (exata) é f(0.1,0.2)-f(0,0)=\ln(1{,}05)\approx 0,04879.