(Teorema do Valor Médio para funções escalares) Seja
definida por
. Mostre que existe um ponto
no segmento de reta que liga
tal que
Calcule explicitamente o ponto c .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A função é
dada por . - Os pontos extremos do segmento são
e . - O enunciado pede que se mostre que existe um ponto
no segmento que liga a tal que
e que se calcule explicitamente esse ponto
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
-
. - Podemos trabalhar no segmento
; um ponto genérico nele é .
Passo 2
Construção padrão usada em questões assim (passo didático): definir a função unidimensional obtida pela restrição de
ao segmento. Defina
Explicação:
é uma função de uma variável que dá o valor de
ao longo do segmento de
a
. A vantagem é que podemos usar o Teorema do Valor Médio para funções de uma variável, que diz que existe
tal que
Também convém recordar a relação entre derivada de
e o gradiente de
: por regra da cadeia,
Então, encontrando
com
, tomamos
e obtemos exatamente a identidade pedida.
Passo 3
Calculemos
,
e
explicitamente.
- Pela definição de
,
- Portanto
Também calculamos a derivada
usando a regra do produto e a derivada de
:
Repare que isto coincide com a fórmula do passo anterior, pois
logo, em
,
confirmando
.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Valor Médio para
em
existe
tal que
Substituindo a expressão de
obtemos a equação que determina
:
Dividindo por
(positivo) podemos escrever de outra forma:
Isto é uma equação em
no intervalo
. O teorema garante existência de
; a equação é transcendental (mistura exponencial e trigonométrica), por isso não tem solução elementar em forma fechada — é preciso aproximar numericamente
. Abaixo vou mostrar um método simples (bisseção) para achar
com precisão razoável.
Passo 5
Resolver numericamente
Vou fazer uma bisseção rápida (mostro algumas iterações para que dê para replicar na prova se for permitido calculadora):
- Calcule constantes aproximadas:
(cálculo: , ). - Testes iniciais:
-
. -
.
Assim há raiz em.
-
Agora bisseção (vou apresentar poucos pontos relevantes):
-
: (negativo). -
: (negativo). -
: (positivo).
Portanto raiz em. - Refinações:
-
: (positivo) → raiz em . -
: (negativo) → raiz em . -
: (positivo).
-
Com mais iterações (ou interpolação linear entre os últimos valores) obtém-se
Passo 6
Recuperando
: como
e
,
, temos
Substituindo a aproximação numérica
obtemos
Resposta
Numericamente: