(Teorema do Valor Médio para funções escalares) Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x, y)=e^{x} \sin (y). Mostre que existe um ponto \mathbf{c}=\left(c_{1}, c_{2}\right) no segmento de reta que liga \mathbf{a}=(0,0) \mathbf{a} \mathbf{b}=(\pi, 1) tal que
f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{c}) \cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a}) .
Calcule explicitamente o ponto c .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A função é f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=e^{x}\sin(y).
  • Os pontos extremos do segmento são \mathbf{a}=(0,0) e \mathbf{b}=(\pi,1).
  • O enunciado pede que se mostre que existe um ponto \mathbf{c}=(c_{1},c_{2}) no segmento que liga \mathbf{a} a \mathbf{b} tal que
f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a}),
e que se calcule explicitamente esse ponto \mathbf{c}.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • \mathbf{b}-\mathbf{a}=(\pi,1).
  • Podemos trabalhar no segmento \{\mathbf{a}+t(\mathbf{b}-\mathbf{a})\mid t\in[0,1]\}; um ponto genérico nele é (t\pi,t).

Passo 2

Construção padrão usada em questões assim (passo didático): definir a função unidimensional obtida pela restrição de f ao segmento. Defina
\varphi(t)=f\big(\mathbf{a}+t(\mathbf{b}-\mathbf{a})\big)=f(t\pi,t),\qquad t\in[0,1].
Explicação: \varphi é uma função de uma variável que dá o valor de f ao longo do segmento de \mathbf{a} a \mathbf{b}. A vantagem é que podemos usar o Teorema do Valor Médio para funções de uma variável, que diz que existe t^{*}\in(0,1) tal que
\varphi'(t^{*})=\varphi(1)-\varphi(0).
Também convém recordar a relação entre derivada de \varphi e o gradiente de f: por regra da cadeia,
\varphi'(t)=\nabla f(\mathbf{a}+t(\mathbf{b}-\mathbf{a}))\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a}).
Então, encontrando t^{*} com \varphi'(t^{*})=\varphi(1)-\varphi(0), tomamos \mathbf{c}=\mathbf{a}+t^{*}(\mathbf{b}-\mathbf{a}) e obtemos exatamente a identidade pedida.

Passo 3

Calculemos \varphi(t), \varphi(0) e \varphi(1) explicitamente.
  • Pela definição de f,
\varphi(t)=f(t\pi,t)=e^{t\pi}\sin t.
  • Portanto
\varphi(0)=e^{0}\sin 0=0, \qquad \varphi(1)=e^{\pi}\sin 1.
Também calculamos a derivada \varphi'(t) usando a regra do produto e a derivada de e^{t\pi}:
\varphi'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{t\pi}\sin t\big)=e^{t\pi}\big(\pi\sin t+\cos t\big).
Repare que isto coincide com a fórmula do passo anterior, pois
\nabla f(x,y)=\big(e^{x}\sin y,\;e^{x}\cos y\big),
logo, em (t\pi,t),
\nabla f(t\pi,t)\cdot(\pi,1)=e^{t\pi}\sin t\cdot\pi+e^{t\pi}\cos t\cdot1=e^{t\pi}\big(\pi\sin t+\cos t\big),
confirmando \varphi'(t)=\nabla f(t\pi,t)\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a}).

Passo 4

Aplicando o Teorema do Valor Médio para \varphi em [0,1] existe t^{*}\in(0,1) tal que
\varphi'(t^{*})=\varphi(1)-\varphi(0)=e^{\pi}\sin 1-0=e^{\pi}\sin 1.
Substituindo a expressão de \varphi'(t) obtemos a equação que determina t^{*}:
e^{t^{*}\pi}\big(\pi\sin t^{*}+\cos t^{*}\big)=e^{\pi}\sin 1.
Dividindo por e^{t^{*}\pi} (positivo) podemos escrever de outra forma:
\pi\sin t^{*}+\cos t^{*}=e^{\pi(1-t^{*})}\sin 1.
Isto é uma equação em t^{*} no intervalo (0,1). O teorema garante existência de t^{*}; a equação é transcendental (mistura exponencial e trigonométrica), por isso não tem solução elementar em forma fechada — é preciso aproximar numericamente t^{*}. Abaixo vou mostrar um método simples (bisseção) para achar t^{*} com precisão razoável.

Passo 5

Resolver numericamente
h(t)=e^{t\pi}\big(\pi\sin t+\cos t\big)-e^{\pi}\sin 1=0,\qquad t\in(0,1).
Vou fazer uma bisseção rápida (mostro algumas iterações para que dê para replicar na prova se for permitido calculadora):
  • Calcule constantes aproximadas: e^{\pi}\sin 1\approx 19{,}472215 (cálculo: e^{\pi}\approx 23{,}1406926, \sin 1\approx 0{,}84147098).
  • Testes iniciais:
    • h(0)=1-e^{\pi}\sin 1\approx 1-19{,}4722<0.
    • h(1)=e^{\pi}(\pi\sin 1+\cos 1)-e^{\pi}\sin 1=e^{\pi}\big((\pi-1)\sin 1+\cos 1\big)>0.
      Assim há raiz em (0,1).
Agora bisseção (vou apresentar poucos pontos relevantes):
  • t=0{,}5: h(0{,}5)\approx 11{,}457-19{,}472\approx -8{,}015 (negativo).
  • t=0{,}625: h(0{,}625)\approx 18{,}87-19{,}472\approx -0{,}602 (negativo).
  • t=0{,}6875: h(0{,}6875)\approx 23{,}99-19{,}472\approx 4{,}52 (positivo).
    Portanto raiz em (0{,}625,0{,}6875).
  • Refinações:
    • t=0{,}640625: h\approx 0{,}568 (positivo) → raiz em (0{,}625,0{,}640625).
    • t=0{,}6328125: h\approx -0{,}022 (negativo) → raiz em (0{,}6328125,0{,}640625).
    • t=0{,}63330078125: h\approx 0{,}016 (positivo).
Com mais iterações (ou interpolação linear entre os últimos valores) obtém-se
t^{*}\approx 0{,}633095\quad\text{(aproximação com 6 dígitos significativos).}çãí

Passo 6

Recuperando \mathbf{c}: como \mathbf{c}=\mathbf{a}+t^{*}(\mathbf{b}-\mathbf{a}) e \mathbf{a}=(0,0), \mathbf{b}-\mathbf{a}=(\pi,1), temos
\mathbf{c}=(t^{*}\pi,\;t^{*}).
Substituindo a aproximação numérica t^{*}\approx 0{,}633095 obtemos
\mathbf{c}\approx\big(\pi\cdot 0{,}633095,\;0{,}633095\big)\approx(1{,}989,\;0{,}633095).

Resposta

\displaystyle \mathbf{c}=\big(t^{*}\pi,\;t^{*}\big) com t^{*}\approx 0{,}633095. \newline
Numericamente: \displaystyle \mathbf{c}\approx(1{,}989,\;0{,}633095).

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