Estime a força necessária para retirar um fio de 50 mm de comprimento da superfície da água. Dados: diâmetro do fio =1,0 \mathrm{~mm}; densidade do fio =7,85 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}; tensão superficial da água =0,0725 \mathrm{~N} / \mathrm{m}\left(\right. a \left.20^{\circ} \mathrm{C}\right). [resp. \mathrm{F}=0.0073 \mathrm{~N} ]

Passo 1

O enunciado pede para estimar a força necessária para retirar um fio da superfície da água, dados:
  • comprimento do fio: L=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m};
  • diâmetro do fio: d=1{,}0\\ \mathrm{mm}=0,001\\ \mathrm{m} (logo raio r=0,0005\\ \mathrm{m});
  • densidade do fio: \rho=7{,}85\\ \mathrm{g/cm^{3}}=7850\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • tensão superficial da água: \gamma=0{,}0725\\ \mathrm{N/m} (a 20^\circ\mathrm{C}).
O que se pede: estimar a força F necessária para arrancar o fio da superfície da água.

Passo 2

Conceito prático e simplificação usada (explicação didática): a tensão superficial \gamma atua ao longo da linha de contato entre o líquido e o sólido, com uma força tangencial por unidade de comprimento igual a \gamma. Para um corpo fino apoiado na superfície (como um fio longo e fino disposto horizontalmente), a linha de contato ocorre em duas “bordas” paralelas ao fio (uma de cada lado), cada uma com comprimento igual a L. Assim a força total fornecida pela tensão superficial, na direção vertical máxima possível no arrancamento (assumindo contato úmido que permite componente vertical máxima), é proporcional ao comprimento total de contato. Em situações comuns de fio/agulha que ficam “sustentadas” pela película, a expressão usada é
F_{\gamma}=2\gamma L.
Observação: esse resultado corresponde à soma das contribuições das duas linhas de contato (cada uma com força por comprimento \gamma multiplicada por L). É a estimativa dominante para a força de arrancamento quando a sustentação vem da tensão superficial. A geometria do fio e o ângulo de contato podem alterar ligeiramente o valor, mas para estimativa pega-se \cos\theta\approx1 (molhabilidade razoável).

Passo 3

Aplicando a fórmula da tensão superficial ao nosso caso:
F_{\gamma}=2\gamma L.
Substituindo \gamma=0{,}0725\\ \mathrm{N/m} e L=0,05\\ \mathrm{m}:
F_{\gamma}=2\cdot 0{,}0725\cdot 0{,}05.
Calculemos passo a passo:
0{,}0725\cdot 0{,}05 = 0{,}003625,
2\cdot 0{,}003625 = 0{,}00725\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma coerente, isso dá F_{\gamma}\approx 0{,}0073\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Verificação física (usar o dado de densidade para comparar com o peso): é útil checar que o fio pode realmente ser sustentado pela tensão superficial (caso contrário o peso dominaria).
  • Área da secção transversal do fio:
A=\pi r^{2}=\pi(0{,}0005)^{2}=\pi\cdot 2{,}5\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 7{,}854\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Volume do fio:
V=A L \approx 7{,}854\times 10^{-7}\cdot 0{,}05 \approx 3{,}927\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Massa do fio:
m=\rho V=7850\cdot 3{,}927\times 10^{-8}\\ \mathrm{kg}\approx 3{,}08\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg}.
  • Peso do fio:
P=mg\approx 3{,}08\times 10^{-4}\cdot 9{,}81\\ \mathrm{N}\approx 0{,}00302\\ \mathrm{N}.
Comparação: P\approx 0{,}0030\\ \mathrm{N} é menor que F_{\gamma}\approx 0{,}00725\\ \mathrm{N}, ou seja, a tensão superficial pode sustentar o fio. Para arrancá‑lo é necessário vencer a força de tensão superficial calculada, não apenas o peso.

Passo 5

Conclusão: a força necessária para retirar o fio da superfície da água, na estimativa usando a tensão superficial como força dominante, é
F\approx 2\gamma L = 0{,}00725\\ \mathrm{N}\approx 0{,}0073\\ \mathrm{N}.

Resposta

0,0073\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados