Estime as integrais abaixo:
integral0^1 e^t^3 d t, com erro inferior a 10^-7

Passo 1

Estamos estimando a integral integral0^1e^t^3,dt com erro menor que 10^-7. O conteúdo aqui é série de Taylor para e^t^3 e integração termo a termo, e vamos precisar usar também o teste da razão para controlar o erro do resto.

Passo 2

Expandimos e^t^3 em série de potências em torno de zero:
e^t^3 = sumn=0^infty t^3nn!
Integrando de 0 a 1 termo a termo (válido por convergência uniforme em [0,1]):
integral0^1e^t^3,dt = sumn=0^infty 1n!integral0^1t^3n,dt = sumn=0^infty 1(3n+1),n!

Passo 3

Denotando an=1(3n+1)n!, analisamos o resto da série truncada em N:
RN = sumn=N+1^inftyan
Pelo teste da razão:
rn=an+1an=3n+1(3n+4)(n+1)<1n+1
Para N=9 temos r9approx0.09, então
R9 <= a101-r9<10^-8<10^-7,
logo basta somar até n=9.

Passo 4

Calculamos os primeiros termos an e a soma parcial S9=sumn=0^9an:
a0&=1, a1&=14=0.25, a2&=114approx0.07142857, a3&=160approx0.01666667, a4&=1312approx0.00320513, a5&=11920approx0.00052083, a6&approx7.30994times10^-5, a7&approx9.01807times10^-6, a8&approx9.92063times10^-7, a9&approx9.84096times10^-8, S9&approx1.3419044075942713

Passo 5

Portanto a integral convergente é aproximadamente 1.341904408 com erro menor que 10^-7.

Resposta

1.341904408

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