Estime a integral \int_{0}^{2} x e^{-x} d x utilizando Simpson 1 / 3 \operatorname{com} n=4.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a integral \displaystyle \int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx usando a Regra de Simpson 1/3 composta com n=4.
Informações dadas e claras:
  • Integrando: f(x)=x e^{-x}.
  • Intervalo: [a,b]=[0,2].
  • Número de subintervalos: n=4 (logo n é par, condição necessária para Simpson 1/3).

Passo 2

Apresento a Regra de Simpson 1/3 composta e explico cada termo. A fórmula é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_i)+2\sum_{i\\ \text{par},\\ i\ne0,n} f(x_i)\right],í
onde:
  • n é o número de subintervalos (deve ser par),
  • h=\dfrac{b-a}{n} é o comprimento de cada subintervalo,
  • x_i = a + i h são os pontos (nós) i=0,1,\dots,n.
Intuição curta e prática: Simpson aproxima a função por parábolas em pares de subintervalos; as parcelas com coeficiente 4 correspondem aos nós ímpares e as com coeficiente 2 aos nós pares internos.

Passo 3

Calculo h e os nós:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{4}=0,5.
Os nós são:
\begin{aligned} x_0&=0,\\\ x_1&=0{,}5,\\\ x_2&=1{,}0,\\\ x_3&=1{,}5,\\\ x_4&=2{,}0. \end{aligned}

Passo 4

Avalio f(x)=x e^{-x} em cada nó. Vou mostrar a expressão e em seguida o valor numérico (usando valores de e^{-x} com precisão suficiente para a prova).
\begin{aligned} f(x_0)&=f(0)=0\cdot e^{0}=0,\\[4pt] f(x_1)&=f(0{,}5)=0{,}5\,e^{-0{,}5}\approx 0{,}3032653298563167,\\[4pt] f(x_2)&=f(1{,}0)=1{,}0\,e^{-1}=e^{-1}\approx 0{,}36787944117144233,\\[4pt] f(x_3)&=f(1{,}5)=1{,}5\,e^{-1{,}5}\approx 0{,}33469524022264473,\\[4pt] f(x_4)&=f(2{,}0)=2{,}0\,e^{-2}\approx 0{,}2706705664732254. \end{aligned}
(Dica para prova: você pode memorizar e^{-1}\approx0{,}3679, e^{-2}\approx0{,}1353 e e^{-0{,}5}\approx0{,}60653 para fazer estimativas com poucas operações.)]

Passo 5

Agora aplico a fórmula de Simpson. Primeiro calculo as somas com seus coeficientes:
  • Soma dos extremos: f(x_0)+f(x_4)=0+0{,}2706705664732254=0{,}2706705664732254.
  • Soma dos nós ímpares: f(x_1)+f(x_3)=0{,}3032653298563167+0{,}33469524022264473=0{,}6379605700789614. Multiplicando por 4 4\cdot 0{,}6379605700789614=2{,}5518422803158456.
  • Soma dos nós pares internos (apenas x_2 aqui): f(x_2)=0{,}36787944117144233. Multiplicando por 2 2\cdot 0{,}36787944117144233=0{,}7357588823428847.
Somando tudo dentro dos colchetes:
0{,}2706705664732254 + 2{,}5518422803158456 + 0{,}7357588823428847 = 3{,}5582717291319557.

Passo 6

Multiplico pelo fator \dfrac{h}{3}. Como h=0{,}5,
\frac{h}{3}=\frac{0{,}5}{3}=\frac{1}{6}\approx 0{,}16666666666666666.
Assim a aproximação por Simpson é
\frac{1}{6}\cdot 3{,}5582717291319557 \approx 0{,}5930452881886593.
Para te dar confiança: a integral exata pode ser obtida por integração por partes e é
\int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx = 1-3e^{-2}\approx 0{,}5939941502901619,
então o erro da aproximação de Simpson com n=4 é pequeno: cerca de -9{,}5\times10^{-4}. Boaaa — ficou bem próximo!

Resposta

0{,}5930452881886593

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