Aplique Simpson 1 / 3 para estimar \int_{0}^{2} \cos (x) d x \operatorname{com} n=4.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a integral \displaystyle \int_{0}^{2} \cos(x)\,dx aplicando a regra de Simpson 1/3 com n=4.
Informações dadas e o que precisamos:
  • Intervalo: [a,b]=[0,2].
  • Número de subintervalos: n=4 (observe que n é par, requisito da regra de Simpson).
  • Função: f(x)=\cos(x).
    A tarefa é aplicar a fórmula de Simpson 1/3 com esses dados e obter a estimativa numérica da integral.

Passo 2

Apresento e explico a fórmula de Simpson 1/3. Para uma função f em [a,b] e n par, define-se o passo
h=\frac{b-a}{n}.
Os pontos de amostragem são x_i=a+i\,h para i=0,1,\dots,n. A regra de Simpson 1/3 aproxima:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_i)+2\sum_{i\\ \text{par},\\ i\ne0,n} f(x_i)+f(x_n)\Big).í
Significado das partes:
  • h é o tamanho de cada subintervalo.
  • f(x_0) e f(x_n) aparecem com peso 1.
  • Os f(x_i) com índices ímpares recebem peso 4.
  • Os f(x_i) com índices pares (intermediários) recebem peso 2.
    A regra combina parabolas que interpolam em cada par de subintervalos; por isso precisa de n par.

Passo 3

Calculo h para o nosso caso:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2}=0,5.

Passo 4

Determino os nós x_i e os valores f(x_i)=\cos(x_i):
\begin{aligned} x_0&=0, & f(x_0)&=\cos(0)=1,\\[4pt] x_1&=0,5, & f(x_1)&=\cos(0,5)\approx 0,877582562,\\[4pt] x_2&=1,0, & f(x_2)&=\cos(1,0)\approx 0,540302306,\\[4pt] x_3&=1,5, & f(x_3)&=\cos(1,5)\approx 0,070737202,\\[4pt] x_4&=2,0, & f(x_4)&=\cos(2,0)\approx -0,416146837. \end{aligned}
Obs.: Aqui usei aproximações decimais para os cossenos (suficientes para a estimativa).]

Passo 5

Aplicando a fórmula de Simpson 1/3:
\int_{0}^{2}\cos(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\big).
Substituindo h=0,5 e os valores calculados:
\frac{h}{3}=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{6}\approx 0,166666667.
Calculo os termos com pesos:
\begin{aligned} 4f(x_1)&=4\cdot 0,877582562\approx 3,510330248,\\[4pt] 2f(x_2)&=2\cdot 0,540302306\approx 1,080604612,\\[4pt] 4f(x_3)&=4\cdot 0,070737202\approx 0,282948808. \end{aligned}
Agora somo tudo:
\begin{aligned} S&=f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\\[4pt] &=1 + 3,510330248 + 1,080604612 + 0,282948808 + (-0,416146837)\\[4pt] &\approx 5,457736831. \end{aligned}]

Passo 6

Multiplico pela constante \dfrac{h}{3}=\dfrac{1}{6}:
\text{Estimativa de Simpson}=\frac{1}{6}\cdot 5,457736831\approx 0,909622805.
Para comparar, a integral exata é
\int_{0}^{2}\cos(x)\,dx=\sin(2)-\sin(0)=\sin(2)\approx 0,909297427,
logo o erro da aproximação é pequeno:
\text{erro}\approx 0,909622805-0,909297427\approx 0,000325378.
Bom trabalho! A estimativa de Simpson com n=4 ficou muito próxima do valor exato.

Resposta

0,909622805

Exercícios relacionados