Calcule a integral \int_{1}^{4} \frac{x}{x^{2}+1} d x utilizando Simpson 1 / 3 com n=4.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{1}^{4}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx
usando a regra de Simpson 1/3 composta com n=4. Informações dadas:
\text{Intervalo }[a,b]=[1,4],\qquad n=4,\qquad f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}.
O objetivo é aplicar a fórmula composta de Simpson com esses dados e obter uma aproximação numérica da integral.

Passo 2

Apresento a fórmula e as ideias necessárias (passo-a-passo bem mastigado).
A regra composta de Simpson 1/3 para um número par n de subintervalos usa passo
h=\frac{b-a}{n}.
Os pontos de amostragem são
x_{i}=a+i\,h,\qquad i=0,1,\dots,n,
e a fórmula composta é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl(f(x_{0})+f(x_{n})+4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_{i})+2\sum_{i\\ \text{par},\;1\le i\le n-1} f(x_{i})\Bigr).í
Explicação das pistas: os pesos 1,4,2,4,\dots,2,4,1 vêm de combinar várias aplicações da regra de Simpson em pares de subintervalos. É obrigatório que n seja par; aqui n=4 atende.

Passo 3

Calculo de h e dos nós x_i.
h=\frac{b-a}{n}=\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}=0,75.
Os nós são
x_{0}=1,\quad x_{1}=1+\tfrac{3}{4}=\tfrac{7}{4}=1,75,\quad x_{2}=1+2\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{2}=2,5,
x_{3}=1+3\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{13}{4}=3,25,\quad x_{4}=4.

Passo 4

Avalio f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1} em cada nó — faço as contas com frações exatas quando possível.
f(x_{0})=f(1)=\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}.
Para x_{1}=\tfrac{7}{4}:
f(x_{1})=\frac{\tfrac{7}{4}}{\left(\tfrac{7}{4}\right)^{2}+1} =\frac{\tfrac{7}{4}}{\tfrac{49}{16}+1} =\frac{\tfrac{7}{4}}{\tfrac{65}{16}} =\frac{7}{4}\cdot\frac{16}{65}=\frac{28}{65}.
Para x_{2}=\tfrac{5}{2}:
f(x_{2})=\frac{\tfrac{5}{2}}{\left(\tfrac{5}{2}\right)^{2}+1} =\frac{\tfrac{5}{2}}{\tfrac{25}{4}+1} =\frac{\tfrac{5}{2}}{\tfrac{29}{4}} =\frac{5}{2}\cdot\frac{4}{29}=\frac{10}{29}.
Para x_{3}=\tfrac{13}{4}:
f(x_{3})=\frac{\tfrac{13}{4}}{\left(\tfrac{13}{4}\right)^{2}+1} =\frac{\tfrac{13}{4}}{\tfrac{169}{16}+1} =\frac{\tfrac{13}{4}}{\tfrac{185}{16}} =\frac{13}{4}\cdot\frac{16}{185}=\frac{52}{185}.
Para x_{4}=4:
f(x_{4})=\frac{4}{4^{2}+1}=\frac{4}{17}.
Resumo (valores exatos):
f(x_{0})=\frac{1}{2},\quad f(x_{1})=\frac{28}{65},\quad f(x_{2})=\frac{10}{29},\quad f(x_{3})=\frac{52}{185},\quad f(x_{4})=\frac{4}{17}.

Passo 5

Aplico a fórmula de Simpson composta. Primeiro calculemos os termos com os pesos:
\text{(extremos)}\; f(x_{0})+f(x_{4})=\frac{1}{2}+\frac{4}{17}.
\text{(ímpares)}\; f(x_{1})+f(x_{3})=\frac{28}{65}+\frac{52}{185}.í
\text{(pares)}\; f(x_{2})=\frac{10}{29}.
Agora multiplico pelos pesos 4 e 2:
4\sum_{\text{ímpares}} f(x_{i})=4\Bigl(\frac{28}{65}+\frac{52}{185}\Bigr)=\frac{112}{65}+\frac{208}{185},í
2\sum_{\text{pares}} f(x_{i})=2\cdot\frac{10}{29}=\frac{20}{29}.
Somando todos os termos dentro dos parênteses da fórmula de Simpson obtém-se (faço aqui a soma em decimal para facilitar a visualização, mantendo as frações já mostradas):
f(x_{0})+f(x_{4})+4\sum_{\text{ímpares}} f(x_{i})+2\sum_{\text{pares}} f(x_{i}) \approx 0,5 + 1,723076923 + 0,689655172 + 1,359618442 \approx 4,272350537.í
Nota: os três termos decimais acima correspondem a \dfrac{112}{65}, \dfrac{20}{29} e \dfrac{208}{185} respectivamente (ver passo anterior para as frações exatas). Como h=\tfrac{3}{4}, temos
\frac{h}{3}=\frac{3/4}{3}=\frac{1}{4}.
Portanto, pela fórmula de Simpson,
\int_{1}^{4}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx \approx \frac{1}{4}\times 4,272350537.
Fazendo a multiplicação obtemos a aproximação final (veja a seção de resposta).

Passo 6

Breve verificação (opcional, para aprender): a integral pode ser calculada exatamente por substituição simples:
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.
Assim o valor exato é
\left.\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\right|_{1}^{4}=\frac{1}{2}\ln\!\Bigl(\frac{17}{2}\Bigr)\approx 1,070033\ldots
Isso mostra que a aproximação de Simpson que estamos calculando deve ficar muito próxima desse valor (e de fato fica).

Resposta

\displaystyle 1,068088

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