Calcule a integral
utilizando Simpson
com
.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a regra de Simpson
composta com
. Informações dadas:
O objetivo é aplicar a fórmula composta de Simpson com esses dados e obter uma aproximação numérica da integral.
Passo 2
Apresento a fórmula e as ideias necessárias (passo-a-passo bem mastigado).
A regra composta de Simpson para um número par
de subintervalos usa passo
A regra composta de Simpson
Os pontos de amostragem são
e a fórmula composta é
Explicação das pistas: os pesos
vêm de combinar várias aplicações da regra de Simpson em pares de subintervalos. É obrigatório que
seja par; aqui
atende.
Passo 3
Calculo de
e dos nós
.
Os nós são
Passo 4
Avalio
em cada nó — faço as contas com frações exatas quando possível.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resumo (valores exatos):
Passo 5
Aplico a fórmula de Simpson composta. Primeiro calculemos os termos com os pesos:
Agora multiplico pelos pesos
e
:
Somando todos os termos dentro dos parênteses da fórmula de Simpson obtém-se (faço aqui a soma em decimal para facilitar a visualização, mantendo as frações já mostradas):
Nota: os três termos decimais acima correspondem a
,
e
respectivamente (ver passo anterior para as frações exatas). Como
, temos
Portanto, pela fórmula de Simpson,
Fazendo a multiplicação obtemos a aproximação final (veja a seção de resposta).
Passo 6
Breve verificação (opcional, para aprender): a integral pode ser calculada exatamente por substituição simples:
Assim o valor exato é
Isso mostra que a aproximação de Simpson que estamos calculando deve ficar muito próxima desse valor (e de fato fica).