Estime a magnitude do erro envolvido ao usar a soma dos quatro primeiros termos para aproximar a soma da série inteira
\frac{1}{1+t}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} t^{n}, \quad 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\frac{1}{1+t}
pela soma dos quatro primeiros termos da expansão
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}t^{n}
e estimar o erro envolvido. O conteúdo é o Teorema da Série Alternada (ou Critério de Leibniz) para estimar o resto de uma série alternada.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
a_n = (-1)^n t^n,
cujo módulo é
|a_n| = t^n.
Para 0\le t\le1, a sequência (|a_n|) é decrescente e tende a zero, condições que garantem a validade do Teorema da Série Alternada.

Passo 3

Chamando de s_4 a soma parcial com quatro termos,
s_4 = \sum_{n=1}^{4}(-1)^n t^n,
o resto é
R_4(t) = \frac{1}{1+t} - s_4 = \sum_{n=5}^{\infty}(-1)^n t^n.
Pelo Teorema da Série Alternada, o módulo do resto satisfaz
|R_4(t)| \le |a_5| = t^5.

Passo 4

Concluímos que, para todo t em [0,1], a magnitude do erro ao usar os quatro primeiros termos é limitada por
|R_4(t)| \le t^5.
Como t^5\le1 nesse intervalo, o erro máximo ocorre em t=1 e vale 1.

Resposta

O erro satisfaz
|R_4(t)| \le t^5,
com valor máximo igual a 1 quando t=1.

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