Estime a magnitude do erro envolvido ao usar a soma dos quatro primeiros termos para aproximar a soma da série inteira
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
pela soma dos quatro primeiros termos da expansão
e estimar o erro envolvido. O conteúdo é o Teorema da Série Alternada (ou Critério de Leibniz) para estimar o resto de uma série alternada.
Passo 2
Identificamos o termo geral da série como
cujo módulo é
Para
, a sequência
é decrescente e tende a zero, condições que garantem a validade do Teorema da Série Alternada.
Passo 3
Chamando de
a soma parcial com quatro termos,
o resto é
Pelo Teorema da Série Alternada, o módulo do resto satisfaz
Passo 4
Concluímos que, para todo
em
, a magnitude do erro ao usar os quatro primeiros termos é limitada por
Como
nesse intervalo, o erro máximo ocorre em
e vale 1.
Resposta
O erro satisfaz
com valor máximo igual a
quando
.