Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+1)^{n}}{(2 n)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(n+1)^{n}}{(2n)^{n}}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos usar o Teste da Raiz para verificar a convergência da série absoluta
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_n\bigr|, onde
a_n = (-1)^{n+1}\frac{(n+1)^{n}}{(2n)^{n}}.

Passo 2

Escrevemos o termo geral em módulo:
\bigl|a_n\bigr| = \frac{(n+1)^{n}}{(2n)^{n}} = \Bigl(\frac{n+1}{2n}\Bigr)^{n} = \Bigl(\tfrac12\bigl(1+\tfrac1n\bigr)\Bigr)^{n}.
Aplicando o Teste da Raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n} = \tfrac12.
Como L=\tfrac12<1, a série de termos positivos
\sum\bigl|a_n\bigr| converge.

Passo 3

Como a série absoluta \sum\bigl|a_n\bigr| converge, a série original
\sum a_n converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (não há caso apenas condicional), e tampouco diverge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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