Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n\ln n}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. O conteúdo envolve o teste da série alternada (Leibniz) e o teste da integral (para verificar divergência da série de termos positivos).

Passo 2

Analisamos primeiro a convergência absoluta, ou seja, da série
\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl|\!(-1)^{n+1}\frac{1}{n\ln n}\Bigr| =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}.
Aplicamos o teste da integral: considere
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}.
Fazendo a substituição u=\ln x, du=dx/x, obtemos
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u} =\Bigl[\ln|u|\Bigr]_{\ln 2}^{\infty} =\lim_{U\to\infty}\ln U-\ln(\ln 2)=\infty.
Como a integral diverge, a série \sum1/(n\ln n) também diverge, logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da série alternada (Leibniz) à série original
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n\ln n}.
Definimos b_n=1/(n\ln n). Verificamos:
  1. b_n>0 para todo n\ge2.
  2. b_{n+1}<b_n para n grande (função x\mapsto1/(x\ln x) é decrescente em [2,\infty)).
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n}=0.
    Pelas condições de Leibniz, a série converge.

Passo 4

Concluímos que a série converge pelo teste alternado, mas não converge absolutamente. Portanto, ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados