Estime a quantidade de DSE que uma aproximação possui se o erro relativo associado a tal aproximação é
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Passo 1
O enunciado pede que eu estime a quantidade de DSE (dígitos significativos corretos) de uma aproximação sabendo que o erro relativo associado é
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Informações dadas:
-
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O que se pede:
- Determinar quantos dígitos significativos estão corretos (DSE) nessa aproximação.
Passo 2
Entendendo o que significa “quantidade de DSE” e a relação com erro relativo.
-
O erro relativo mede a diferença relativa entre o valor aproximado e o valor exato, e pode ser positivo ou negativo. Para contar dígitos corretos interessa o valor absoluto do erro relativo, isto é
. -
Critério simples e muito usado: se
então há pelo menos dígitos significativos corretos. Isso vem da ideia de que um erro relativo menor que significa que as primeiras casas decimais (a partir do primeiro dígito significativo) coincidem com o valor exato. -
Alternativa equivalente em termos de logaritmo: o número (não necessariamente inteiro) de dígitos é dado por
e o número inteiro de dígitos corretos é obtido tomando a parte inteira (piso) desse valor:
Escolhi esse método porque é o mais direto e elementar: compara o erro com potências de
e usa logaritmo comum, ferramenta básica que costuma aparecer em provas e que permite estimar sem calculadora com pouca conta.
Passo 3
Calcular o valor absoluto do erro relativo e comparar com potências de 10.
- Primeiro o valor absoluto:
- Comparar com
e :
Observa-se que
Logo
está entre
e
, o que indica que há pelo menos
dígitos e menos de
dígitos corretos. Portanto o número inteiro de dígitos corretos é
.
Passo 4
Fazer o cálculo via logaritmo para confirmar numericamente:
Agora
(aproximação comum), então
Tomando a parte inteira (piso) obtemos
, confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 5
Interpretação final e comentário de confiança.
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Pelo critério usado, a aproximação com
tem dígitos significativos corretos. -
Observação: alguns textos usam um critério ligeiramente mais estrito (por exemplo comparar com
), mas pelo critério padrão e elementar adotado aqui o resultado é dígitos, e é esse o que aparece normalmente em provas de graduação.