Estime a quantidade de DSE que uma aproximação possui se o erro relativo associado a tal aproximação é \varepsilon_{\text {rel }}=-7,23 \times 10^{-8}.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a quantidade de DSE (dígitos significativos corretos) de uma aproximação sabendo que o erro relativo associado é \varepsilon_{\text{rel}} = -7,23\times 10^{-8}.
Informações dadas:
  • \varepsilon_{\text{rel}} = -7,23\times 10^{-8}.
O que se pede:
  • Determinar quantos dígitos significativos estão corretos (DSE) nessa aproximação.

Passo 2

Entendendo o que significa “quantidade de DSE” e a relação com erro relativo.
  • O erro relativo mede a diferença relativa entre o valor aproximado e o valor exato, e pode ser positivo ou negativo. Para contar dígitos corretos interessa o valor absoluto do erro relativo, isto é |\varepsilon_{\text{rel}}|.
  • Critério simples e muito usado: se |\varepsilon_{\text{rel}}| < 10^{-N} então há pelo menos N dígitos significativos corretos. Isso vem da ideia de que um erro relativo menor que 10^{-N} significa que as primeiras N casas decimais (a partir do primeiro dígito significativo) coincidem com o valor exato.
  • Alternativa equivalente em termos de logaritmo: o número (não necessariamente inteiro) de dígitos é dado por
-\log_{10}\!\bigl(|\varepsilon_{\text{rel}}|\bigr),
e o número inteiro de dígitos corretos é obtido tomando a parte inteira (piso) desse valor:
N = \left\lfloor -\log_{10}\!\bigl(|\varepsilon_{\text{rel}}|\bigr) \right\rfloor.
Escolhi esse método porque é o mais direto e elementar: compara o erro com potências de 10 e usa logaritmo comum, ferramenta básica que costuma aparecer em provas e que permite estimar sem calculadora com pouca conta.

Passo 3

Calcular o valor absoluto do erro relativo e comparar com potências de 10.
  • Primeiro o valor absoluto:
|\varepsilon_{\text{rel}}| = 7,23\times 10^{-8}.
  • Comparar com 10^{-7} e 10^{-8}:
10^{-8} = 1{,}0\times 10^{-8},\qquad 10^{-7} = 1{,}0\times 10^{-7}.
Observa-se que
7{,}23\times 10^{-8} > 1{,}0\times 10^{-8} \quad\text{e}\quad 7{,}23\times 10^{-8} < 1{,}0\times 10^{-7}.
Logo |\varepsilon_{\text{rel}}| está entre 10^{-8} e 10^{-7}, o que indica que há pelo menos 7 dígitos e menos de 8 dígitos corretos. Portanto o número inteiro de dígitos corretos é 7.

Passo 4

Fazer o cálculo via logaritmo para confirmar numericamente:
-\log_{10}\!\bigl(7{,}23\times 10^{-8}\bigr) = -\bigl(\log_{10}(7{,}23)+\log_{10}(10^{-8})\bigr) = 8 - \log_{10}(7{,}23).
Agora \log_{10}(7{,}23)\approx 0{,}859 (aproximação comum), então
-\log_{10}\!\bigl(7{,}23\times 10^{-8}\bigr)\approx 8 - 0{,}859 = 7{,}141.
Tomando a parte inteira (piso) obtemos N=\lfloor 7{,}141\rfloor = 7, confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 5

Interpretação final e comentário de confiança.
  • Pelo critério usado, a aproximação com \varepsilon_{\text{rel}} = -7{,}23\times 10^{-8} tem 7 dígitos significativos corretos.
  • Observação: alguns textos usam um critério ligeiramente mais estrito (por exemplo comparar com 0{,}5\times 10^{-N}), mas pelo critério padrão e elementar adotado aqui o resultado é 7 dígitos, e é esse o que aparece normalmente em provas de graduação.

Resposta

7 dígitos significativos

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