Encontre as primeiras 4 aproximações para a raiz r \in[1,2 ; 2,4] de f(x)=x^{2}+\operatorname{sen}(x)-5, pelo método da secante. Considere x_{0}=1,2 e x_{1}=2,4.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede as primeiras 4 aproximações para a raiz r\in[1,2;2,4] da função f(x)=x^{2}+\operatorname{sen}(x)-5 usando o método da secante.
  • Dados iniciais: x_{0}=1,2 e x_{1}=2,4.
  • Vou fornecer, passo a passo, as operações necessárias para calcular as próximas aproximações x_{2} e x_{3} (juntamente com x_{0} e x_{1}, que já são as primeiras duas aproximações).

Passo 2

Breve explicação do método da secante (fórmula e significado das variáveis), de forma prática:
  • A ideia da secante é aproximar a curva y=f(x) por uma reta que passa pelos pontos \big(x_{n-1},f(x_{n-1})\big) e \big(x_{n},f(x_{n})\big) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}.
  • A fórmula usada é
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\frac{x_{n}-x_{n-1}}{\,f(x_{n})-f(x_{n-1})\,},
onde:
  • x_{n-1} e x_{n} são as duas últimas aproximações conhecidas;
  • f(x_{n-1}) e f(x_{n}) são os valores da função nesses pontos;
  • o quociente \dfrac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})} representa a “inclinação” da secante invertida usada para ajustar x_{n}.
  • Vamos aplicar essa fórmula sucessivamente para obter x_{2} e x_{3}.

Passo 3

Calcular f(x_{0}) e f(x_{1}) (substituindo na função e avaliando):
  • Primeiro, x_{0}=1,2. Calcula-se
x_{0}^{2}=1,2^{2}=1,44,
\operatorname{sen}(1,2)\approx0,932039086\quad(\text{valor aproximado de }\operatorname{sen}(1{,}2\\ \text{rad})),
portanto
f(1,2)=1,44+0,932039086-5=-2,627960914.
  • Em seguida, x_{1}=2,4. Calcula-se
x_{1}^{2}=2,4^{2}=5,76,
\operatorname{sen}(2,4)\approx0,675463181\quad(\text{valor aproximado de }\operatorname{sen}(2{,}4\\ \text{rad})),
portanto
f(2,4)=5,76+0,675463181-5=1,435463181.

Passo 4

Calcular x_{2} usando a fórmula da secante com n=1:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\cdot\frac{x_{1}-x_{0}}{\,f(x_{1})-f(x_{0})\,}.
Substituindo os valores que temos:
x_{1}-x_{0}=2,4-1,2=1,2,
f(x_{1})-f(x_{0})=1,435463181-(-2,627960914)=4,063424095.
Logo
\frac{f(x_{1})\,(x_{1}-x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})} =\frac{1,435463181\cdot1,2}{4,063424095}\approx0,423917311.
Portanto
x_{2}=2,4-0,423917311\approx1,976082689.

Passo 5

Avaliar f(x_{2}) (para usar na próxima iteração):
  • Calcular x_{2}^{2}:
x_{2}^{2}\approx1,976082689^{2}\approx3,904902826.
  • Calcular \operatorname{sen}(x_{2}). Uma forma prática é usar identidades próximas (por exemplo, x_{2}=2-0,023917311) ou uma calculadora trigonométrica; obtém-se
\operatorname{sen}(1,976082689)\approx0,918989595.
  • Então
f(1,976082689)=3,904902826+0,918989595-5\approx-0,176107579.

Passo 6

Calcular x_{3} usando a fórmula da secante com n=2:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{\,f(x_{2})-f(x_{1})\,}.
Substituindo:
x_{2}-x_{1}=1,976082689-2,4=-0,423917311,
f(x_{2})-f(x_{1})=-0,176107579-1,435463181=-1,611570760.
O termo de correção é
\frac{f(x_{2})\,(x_{2}-x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})} =\frac{(-0,176107579)\cdot(-0,423917311)}{-1,611570760}\approx-0,046356689.
Portanto
x_{3}=1,976082689-(-0,046356689)\approx2,022439378.

Passo 7

(Validação rápida) calcular f(x_{3}) para ver se estamos convergindo:
  • x_{3}^{2}\approx2,022439378^{2}\approx4,090238,
  • \operatorname{sen}(2,022439378)\approx0,899733,
  • Logo
f(2,022439378)\approx4,090238+0,899733-5\approx-0,010029.
Observa-se que f(x_{3}) está bem próximo de zero, o que indica que a iteração da secante está convergindo para a raiz.

Resposta

x_{0}=1,2
x_{1}=2,4
x_{2}\approx1,976083
x_{3}\approx2,022439

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