Encontre as primeiras 4 aproximações para a raiz
de
, pelo método da secante. Considere
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede as primeiras 4 aproximações para a raiz
da função usando o método da secante. - Dados iniciais:
e . - Vou fornecer, passo a passo, as operações necessárias para calcular as próximas aproximações
e (juntamente com e , que já são as primeiras duas aproximações).
Passo 2
Breve explicação do método da secante (fórmula e significado das variáveis), de forma prática:
- A ideia da secante é aproximar a curva
por uma reta que passa pelos pontos e e tomar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - A fórmula usada é
onde:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas; -
e são os valores da função nesses pontos; - o quociente
representa a “inclinação” da secante invertida usada para ajustar . - Vamos aplicar essa fórmula sucessivamente para obter
e .
Passo 3
Calcular
e
(substituindo na função e avaliando):
- Primeiro,
. Calcula-se
portanto
- Em seguida,
. Calcula-se
portanto
Passo 4
Calcular
usando a fórmula da secante com
:
Substituindo os valores que temos:
Logo
Portanto
Passo 5
Avaliar
(para usar na próxima iteração):
- Calcular
:
- Calcular
. Uma forma prática é usar identidades próximas (por exemplo, ) ou uma calculadora trigonométrica; obtém-se
- Então
Passo 6
Calcular
usando a fórmula da secante com
:
Substituindo:
O termo de correção é
Portanto
Passo 7
(Validação rápida) calcular
para ver se estamos convergindo:
-
, -
, - Logo
Observa-se que
está bem próximo de zero, o que indica que a iteração da secante está convergindo para a raiz.