Questão 9. Sejam \varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n-1} as n-ésimas raízes da unidade, ou seja, \varepsilon_{j}^{n}=1, \forall 0 \leq j \leq n-1. Mostre que, para todo inteiro positivo \mathbf{k},
\sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j}^{k}= \begin{cases}n, & \text { se } n \mid k \\\\ 0, & \text { se } n \nmid k\end{cases}
Passo 1
O enunciado nos dá as n raízes \varepsilon_{0},\varepsilon_{1},\ldots,\varepsilon_{n-1} da unidade, isto é, cada uma satisfaz
\varepsilon_j^{n}=1\quad\text{para todo }0\le j\le n-1.
O que precisamos mostrar é que, para todo inteiro positivo k,
\sum_{j=0}^{n-1}\varepsilon_j^{k}= \begin{cases} n,&\text{se }n\mid k,\\[4pt] 0,&\text{se }n\nmid k. \end{cases}]
Passo 2
Para trabalhar de forma clara com essas raízes, introduzimos a raiz primitiva
\zeta = e^{2\pi i / n}.
Pela fórmula de Euler, as n raízes da unidade podem ser representadas como
\varepsilon_j=\zeta^{j}=e^{2\pi i j/n},\qquad j=0,1,\dots,n-1.
(Isto é padrão: todas as n-ésimas raízes da unidade são as potências de \zeta.)
Passo 3
Substituindo \varepsilon_j=\zeta^{j} na soma pedida, obtemos
Lembrando a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita: para r\neq 1,
\sum_{j=0}^{n-1} r^{j}=\frac{1-r^{n}}{1-r}.
A demonstração dessa fórmula é simples: multiplique a soma por 1-r e cancele termos; vale a pena decorar. Se r=1, a soma é simplesmente n (pois são n termos iguais a 1).
Passo 5
Agora aplicamos isso ao nosso r=\zeta^{k}.
Caso n\mid k: escrevendo k = n\ell para algum \ell\in\mathbb{Z}, tem-se
Como r\neq 1 mas r^{n}=1, aplicamos a fórmula da soma geométrica:
S=\frac{1-r^{n}}{1-r}=\frac{1-1}{1-r}=0.
Aqui usamos que o denominador 1-r é diferente de zero porque r\neq 1.
Passo 7
Para fixar a intuição, um exemplo rápido: tome n=4 e k=2. As raízes são 1,i,-1,-i. Elevando ao quadrado obtemos 1,-1,1,-1 e a soma é 0, conforme a regra (pois 4\nmid 2). Se k=4, todas as potências são 1 e a soma é 4.
Resposta
\sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j}^{k}= \begin{cases}n, & \text { se } n \mid k \\[4pt] 0, & \text { se } n \nmid k\end{cases}]