Estime o tempo de retorno para uma precipitação máxima diária anual de 180 mm , com a distribuição Gumbel, considerando média da série histórica igual a 85 mm e desvio padrão de 34 mm . Qual a probabilidade deste evento ocorrer nos próximos 10 anos? R. sim 65 anos; R=14.4 %

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente estimar o tempo de retorno de uma chuva extrema (180 mm) usando a distribuição de Gumbel.
Conteúdo: valores extremos – distribuição de Gumbel.
O que vamos precisar:
  1. Calcular os parâmetros μ (localização) e β (escala) da Gumbel a partir da média mm e desvio padrão mm.
  2. Calcular a probabilidade acumulada em mm e daí obter o tempo de retorno .
  3. Calcular a chance de esse evento rolar pelo menos uma vez em 10 anos: .

Passo 2

Primeiro achamos β e μ.
Na Gumbel vale:
sigma = beta;piraiz6 Longrightarrow beta = sigma,raiz6pi
e
bar x = mu + gamma,beta,
onde beta = 34cdotraiz6pi approx 34cdot2.4493.1416 approx 26.51;mm é a constante de Euler.
Substituindo:
mu = 85 - 0.5772cdot26.51 approx 85 - 15.31 approx 69.69;mm

Passo 3

Agora calculamos a CDF de Gumbel em F(180) = exp!l(-exp!l(-tfrac180-mubetar)r) =exp!l(-e^-,yr) com y=180-69.6926.51approx4.16 :
exp(-y)approx e^-4.16approx0.0156, F(180)approx exp(-0.0156)approx0.9845
Então
R = 11 - F(180) approx 11 - 0.9845 approx 64.5;anos
O tempo de retorno é

Passo 4

Pra saber a chance de ocorrer pelo menos uma vez em 10 anos, tratamos cada ano como um ensaio independente com P = 1 - (1 - p)^10 = 1 - l(1 - tfrac164.5r)^10 approx 1 - (0.9845)^10 approx 0.144 approx 14.4% :

Resposta

Tempo de retorno anos; probabilidade de ocorrência nos próximos 10 anos .

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