© Estime qual o valor de
para calcular
pelo método de
-Simpsons com erro menor que
e faça o cálculo da integral. Compare a estimativa com o erro realmente cometido.
Passo 1
Beleza, vamos lá: a questão é sobre usar o método de Simpson com
subintervalos para aproximar
de modo que o erro fique abaixo de
.
Conteúdo: integração numérica (fórmula de Simpson) e estimativa de erro.
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: integração numérica (fórmula de Simpson) e estimativa de erro.
O que a gente vai precisar:
- A fórmula do erro para Simpson, que é
- No nosso caso
, e , então também, cujo máximo em é 1 (em ).
Passo 2
Usando a fórmula de erro:
Isso dá
Como em Simpson
1180cdot6^4=1180cdot1296approx4,29times10^-6<10^-5, tem que ser par, o menor
que atende é
? Testando a estimativa de erro para
:
na verdade já dá abaixo de
! Mas às vezes a estimativa é otimista — então a gente escolhe logo
, para garantir uma margem maior.
Passo 3
Agora vamos calcular a integral por Simpson com
S8=h3l[f(x0)+f(x8)+4sumsubstackk=1k ímpar^7f(xk) +2sumsubstackk=2k par^6f(xk)r] .
Passo a passo:
Passo a passo:
-
.S8 approx 0,6321214142 - Os pontos são
, . - Calcula
. - Aplica
Fazendo as contas (valores aproximados):
f(0)=1,
f(0{,}125)=0{,}8824969,
f(0{,}25)=0{,}7788008,
f(0{,}375)=0{,}6872893,
f(0{,}5)=0{,}6065307,
f(0{,}625)=0{,}5352614,
f(0{,}75)=0{,}4723666,
f(0{,}875)=0{,}4168620,
f(1)=0{,}3678794.
f(0)=1,
f(0{,}125)=0{,}8824969,
f(0{,}25)=0{,}7788008,
f(0{,}375)=0{,}6872893,
f(0{,}5)=0{,}6065307,
f(0{,}625)=0{,}5352614,
f(0{,}75)=0{,}4723666,
f(0{,}875)=0{,}4168620,
f(1)=0{,}3678794.
Somando conforme a fórmula dá
Passo 4
Agora o valor exato da integral é
Comparando:
que satisfaz bem o
.
Resposta
Usando
integral0^1 e^-x,dx approx 0,6321214142 subintervalos, obtemos
e o erro real fica em aproximadamente
, bem abaixo de
.