© Estime qual o valor de n para calcular integral0^1 e^-x d x pelo método de n-Simpsons com erro menor que 10^-5 e faça o cálculo da integral. Compare a estimativa com o erro realmente cometido.

Passo 1

Beleza, vamos lá: a questão é sobre usar o método de Simpson com integral0^1 e^-x,dx subintervalos para aproximar
l|ESr|<= (b-a)180,n^4maxxin[a,b]|f^(4)(x)|
de modo que o erro fique abaixo de .
Conteúdo: integração numérica (fórmula de Simpson) e estimativa de erro.
O que a gente vai precisar:
  1. A fórmula do erro para Simpson, que é
  1. No nosso caso , e , então também, cujo máximo em é 1 (em ).

Passo 2

Usando a fórmula de erro:
1-0180,n^4cdot 1 < 10^-5 Longrightarrow 1180,n^4 < 10^-5 Longrightarrow n^4 > 1180times10^-5 = 5,555,5ldots
Isso dá
n > l(5,555,5ldotsr)^1/4approx 4,86
Como em Simpson 1180cdot6^4=1180cdot1296approx4,29times10^-6<10^-5, tem que ser par, o menor que atende é ? Testando a estimativa de erro para :
na verdade já dá abaixo de ! Mas às vezes a estimativa é otimista — então a gente escolhe logo , para garantir uma margem maior.

Passo 3

Agora vamos calcular a integral por Simpson com S8=h3l[f(x0)+f(x8)+4sumsubstackk=1k ímpar^7f(xk) +2sumsubstackk=2k par^6f(xk)r] .
Passo a passo:
  • S8 approx 0,6321214142 .
  • Os pontos são , .
  • Calcula .
  • Aplica
í
Fazendo as contas (valores aproximados):
f(0)=1,
f(0{,}125)=0{,}8824969,
f(0{,}25)=0{,}7788008,
f(0{,}375)=0{,}6872893,
f(0{,}5)=0{,}6065307,
f(0{,}625)=0{,}5352614,
f(0{,}75)=0{,}4723666,
f(0{,}875)=0{,}4168620,
f(1)=0{,}3678794.
Somando conforme a fórmula dá

Passo 4

Agora o valor exato da integral é
integral0^1 e^-x,dx = l[-e^-xr]0^1 = 1 - e^-1approx0,6321205588
Comparando:
l|S8 - (1-e^-1)r|approx8,55times10^-7,
que satisfaz bem o .

Resposta

Usando integral0^1 e^-x,dx approx 0,6321214142 subintervalos, obtemos
e o erro real fica em aproximadamente , bem abaixo de .

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