Estime o valor dos seguintes números:
Calcule, usando a diferencial, o valor aproximado de:
\operatorname{sen} 59

Passo 1

O enunciado pede para estimar \operatorname{sen} 59^\circ usando a diferencial de f(x)=\operatorname{sen} x. Aqui estamos em radianos, então precisamos escolher um ponto próximo cujo seno e cosseno sejam conhecidos, depois usar a aproximação linear
f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x.

Passo 2

Escolhemos o ponto de referência x_0=60^\circ, pois \sen60^\circ e \cos60^\circ são valores clássicos. Em radianos:
x_0 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}, \quad x = 59^\circ = x_0 + \Delta x, \quad \Delta x = (59^\circ - 60^\circ)\cdot\frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{180}.

Passo 3

A fórmula da aproximação linear (diferencial) para f(x)=\operatorname{sen} x é
\operatorname{sen}(x_0+\Delta x)\approx \operatorname{sen} x_0 + (\cos x_0)\,\Delta x.

Passo 4

Avaliamo-los:
\operatorname{sen} x_0 = \operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos x_0 = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \qquad \Delta x = -\frac{\pi}{180}.
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\operatorname{sen} 59^\circ \approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\!\left(-\frac{\pi}{180}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{360}.
Numericamente, \frac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660 e \frac{\pi}{360}\approx0,0087, portanto
\operatorname{sen} 59^\circ\approx 0,8660 - 0,0087 = 0,8573.

Resposta

\operatorname{sen} 59^\circ \approx 0,8573.

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