Questão 2 Considere o campo vetorial \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}-y z, y^{3}+x z, 1+z^{2}\right). Calcule a integral de linha desse campo ao longo da curva \gamma que é a interseção de x+y^{2}=1 e x+y+z=5 orientada de tal forma que, quando projetada no plano x y, seja percorrida no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F(x,y,z)=(x^3 - yz,\;y^3 + xz,\;1+z^2) e \gamma é a curva fechada de interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x+y+z=5, orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido horário.
Conteúdo: usar o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha numa integral de superfície sobre uma porção do plano.

Passo 2

Calcular o rotacional de \vec{F},
\nabla \times \vec{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial y}(1+z^{2}) - \frac{\partial}{\partial z}(y^{3} + xz) \\[6pt] \frac{\partial}{\partial z}(x^{3} - yz) - \frac{\partial}{\partial x}(1+z^{2}) \\[6pt] \frac{\partial}{\partial x}(y^{3} + xz) - \frac{\partial}{\partial y}(x^{3} - yz) \end{pmatrix} = \bigl(-x,\,-y,\;2z\bigr).]

Passo 3

Escolhemos a superfície S como a parte do plano
\Pi:\;x+y+z=5
limitada pela curva \gamma. Parametrizamos \Pi por \vec r(x,y)=(x,y,\,5-x-y) com (x,y) variando no disco D:\;x^2+y^2\le1. Então
\vec r_x=(1,0,-1),\quad \vec r_y=(0,1,-1)
e o vetor normal (não unitário) para garantir a orientação correta será
\vec n\,dS=-\bigl(\vec r_x\times\vec r_y\bigr)\,dA =-\,(1,1,1)\,dA,
onde o sinal menos é para que a projeção de \gamma no plano xy seja percorrida no sentido horário.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes temos
\oint_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS =\iint_{D}\bigl(\nabla\times\vec F(x,y,5-x-y)\bigr)\cdot\bigl(-1,-1,-1\bigr)\,dA.
No plano, z=5-x-y, então
\nabla\times\vec F(x,y,5-x-y)=\bigl(-x,\,-y,\;2(5-x-y)\bigr) =\bigl(-x,\,-y,\;10-2x-2y\bigr).
O produto escalar com (-1,-1,-1) é
(-x,-y,10-2x-2y)\cdot(-1,-1,-1) = x+y-10+2x+2y =3x+3y-10.

Passo 5

Agora integramos sobre o disco D\!:x^2+y^2\le1:
\iint_{D}(3x+3y-10)\,dA =3\iint_{D}x\,dA+3\iint_{D}y\,dA-10\iint_{D}1\,dA.
Como D é simétrico, \iint_D x\,dA=\iint_D y\,dA=0 e \iint_D1\,dA=\pi. Logo
\oint_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =-10\pi.

Resposta

-10\pi

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