Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI’s
\frac{d y}{d t}-y=1, y(0)=0

Passo 1

O PVI
\frac{dy}{dt}-y=1,\quad y(0)=0
é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver com transformada de Laplace, vamos transformar toda a equação para o domínio s.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, obtemos
\mathcal{L}\bigl\{y'(t)\bigr\}-\mathcal{L}\bigl\{y(t)\bigr\}=\mathcal{L}\{1\}.
Como
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s),\quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},
e usando y(0)=0, temos
sY(s)-0 \;-\;Y(s)=\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,(s-1)=\frac{1}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s) e fazendo frações parciais:
Y(s)=\frac{1}{s(s-1)} \quad\text{e}\quad \frac{1}{s(s-1)}=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s-1}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa de Laplace em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{1}{s}\Bigr\}=-1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s-1}\Bigr\}=e^{t}.
Portanto
y(t)=e^{t}-1.

Resposta

y(t)=e^{t}-1.

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