Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma da região no primeiro quadrante, limitada pela parábola y=x^2, pela reta y=1 e pelo eixo y. A densidade em qualquer ponto é (x+y) kg cdot m^2.

Passo 1

O enunciado pede a massa m e o centro de massa (bar x,bar y) de uma lâmina no primeiro quadrante limitada por y=x^2, y=1 e o eixo y (ou seja, x=0), com densidade de área rho(x,y)=x+y. Para resolver, vamos usar as fórmulas
m = integral duplaR rho(x,y),dA,
bar x = 1mintegral duplaR x,rho(x,y),dA, bar y = 1mintegral duplaR y,rho(x,y),dA

Passo 2

Descrevemos R por
0 <= y <= 1, 0 <= x <= raizy
Logo,
m = integraly=0^1!integralx=0^raizy (x+y),dx,dy
Integramos em x:
integral0^raizy (x+y),dx = [tfracx^22+yx]0^raizy = tfracy2 + y^3/2
Agora em y:
m = integral0^1l(tfracy2+y^3/2r)dy = l[tfracy^24+tfrac25y^5/2r]0^1 = tfrac14+tfrac25 = tfrac1320

Passo 3

Para bar x:
integral duplaR x,rho(x,y),dA = integral0^1!integral0^raizy (x^2 + x y),dx,dy
No interior:
integral0^raizy (x^2 + x y),dx = [tfracx^33 + tfracy x^22]0^raizy = tfracy^3/23 + tfracy^22
Integramos em y:
integral0^1l(tfracy^3/23 + tfracy^22r)dy = tfrac13cdottfrac25 + tfrac12cdottfrac13 = tfrac215 + tfrac16 = tfrac930 = tfrac310
Logo
bar x = 1m,310 = 2013cdot310 = 613

Passo 4

Para bar y:
integral duplaR y,rho(x,y),dA = integral0^1!integral0^raizy (x y + y^2),dx,dy
No interior:
integral0^raizy (x y + y^2),dx = [tfracy x^22 + y^2 x]0^raizy = tfracy^22 + y^5/2
Integramos em y:
integral0^1l(tfracy^22 + y^5/2r)dy = tfrac12cdottfrac13 + tfrac27 = tfrac16 + tfrac27 = tfrac1942
Assim
bar y = 1m,1942 = 2013cdot1942 = 190273

Resposta

A massa vale
m = tfrac1320,kg,
e o centro de massa é
(bar x,bar y) = l(tfrac613,,tfrac190273r),m

Exercícios relacionados