Se v1, v2, v3 estiverem em R^3 e v3 não for uma combinação linear de v1 e v2, então v1, v2, v3 será linearmente independente.

Passo 1

O enunciado considera vetores v1,v2,v3inR^3 e afirma que, se v3 não está em spanv1,v2, então v1,v2,v3 é linearmente independente. Para analisar isso usaremos a definição de independência linear: um conjunto v1,v2,v3 é independente se, na única relação
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0,
vem a1=a2=a3=0.

Passo 2

Vamos construir um contraexemplo onde v3notinspanv1,v2 mas v1,v2,v3 é dependente. Escolha
v1 = (1,0,0), v2 = (2,0,0), v3 = (0,1,0)

Passo 3

Verificamos que v3notinspanv1,v2, pois spanv1,v2 é o eixo x em R^3 e v3 está fora desse eixo.

Passo 4

Porém, note a relação não trivial
2,v1 ;-;v2 ;+;0;v3 ;=;(2,0,0)-(2,0,0)+(0,0,0)=0
Aqui (a1,a2,a3)=(2,-1,0)neq(0,0,0) leva à combinação nula, logo o conjunto é linearmente dependente.

Passo 5

Concluímos que a afirmação original é falsa: basta ter v1 e v2 dependentes para falhar a independência do trio, mesmo que v3 não esteja em spanv1,v2.

Resposta

A afirmação é falsa.

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