Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta com base em uma leitura cuidadosa do texto.
22. a. Se
forem linearmente independentes e
pertencer
,
, então
será linearmente dependente.
b. Se três vetores
pertencerem a um mesmo plano
, então eles serão linearmente dependentes.
c. Se um conjunto contiver menos vetores que o número de componentes de cada vetor, então o conjunto será linearmente independente.
d. Se um conjunto em
for linearmente dependente, então o conjunto conterá mais que
vetores.
22. a. Se
b. Se três vetores
c. Se um conjunto contiver menos vetores que o número de componentes de cada vetor, então o conjunto será linearmente independente.
d. Se um conjunto em
Passo 1
O enunciado 22 traz quatro afirmações sobre independência linear em espaços vetoriais, mais especificamente em
. Vamos usar a definição de conjunto linearmente dependente (existe combinação linear não trivial que dá o vetor zero) e linearmente independente (só a combinação trivial dá zero), além do fato de que qualquer conjunto com mais vetores que a dimensão do espaço é automaticamente dependente, e que toda dependência implica que um vetor do conjunto é combinação dos demais.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “Se
e
forem linearmente independentes e
, então
será linearmente dependente.”
Como , existem escalares
, não ambos nulos, tais que
Como
Reescrevendo:
é uma combinação não trivial que gera o vetor zero, logo o conjunto é dependente. Portanto (a) é Verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “Se três vetores em
pertencerem a um mesmo plano em
, então eles serão linearmente dependentes.”
Um plano em é um subespaço de dimensão 2, ou seja, espaço gerado por apenas dois vetores independentes. Qualquer conjunto de três vetores num subespaço de dimensão 2 é necessariamente dependente (mais vetores que a dimensão). Logo (b) é Verdadeira.
Um plano em
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “Se um conjunto contiver menos vetores que o número de componentes de cada vetor, então o conjunto será linearmente independente.”
Em , ter menos de
vetores não garante independência; eles podem estar alinhados. Por exemplo, em
os vetores
e
são apenas 2 vetores (❤️) mas são linearmente dependentes. Portanto (c) é Falsa.
Em
Passo 5
Analisando a afirmação (d): “Se um conjunto em
for linearmente dependente, então o conjunto conterá mais que
vetores.”
O teorema diz que todo conjunto com mais de vetores em
é dependente, mas o recíproco não vale: mesmo com menos de
vetores é possível ter dependência (como no exemplo anterior). Logo (d) é Falsa.
O teorema diz que todo conjunto com mais de
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Falsa.
(d) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Falsa.
(d) Falsa.