Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta com base em uma leitura cuidadosa do texto.
22. a. Se u e v forem linearmente independentes e w pertencer L mathscrLu, v, então u, v, w será linearmente dependente.
b. Se três vetores em R^3 pertencerem a um mesmo plano em R^3, então eles serão linearmente dependentes.
c. Se um conjunto contiver menos vetores que o número de componentes de cada vetor, então o conjunto será linearmente independente.
d. Se um conjunto em R^ for linearmente dependente, então o conjunto conterá mais que n vetores.

Passo 1

O enunciado 22 traz quatro afirmações sobre independência linear em espaços vetoriais, mais especificamente em R^n. Vamos usar a definição de conjunto linearmente dependente (existe combinação linear não trivial que dá o vetor zero) e linearmente independente (só a combinação trivial dá zero), além do fato de que qualquer conjunto com mais vetores que a dimensão do espaço é automaticamente dependente, e que toda dependência implica que um vetor do conjunto é combinação dos demais.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Se u e v forem linearmente independentes e winmathscrLu,v, então u,v,w será linearmente dependente.”
Como winmathscrLu,v, existem escalares a,b, não ambos nulos, tais que
w=a,u+b,v
Reescrevendo:
a,u+b,v-1cdotw=0,
é uma combinação não trivial que gera o vetor zero, logo o conjunto é dependente. Portanto (a) é Verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “Se três vetores em R^3 pertencerem a um mesmo plano em R^3, então eles serão linearmente dependentes.”
Um plano em R^3 é um subespaço de dimensão 2, ou seja, espaço gerado por apenas dois vetores independentes. Qualquer conjunto de três vetores num subespaço de dimensão 2 é necessariamente dependente (mais vetores que a dimensão). Logo (b) é Verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “Se um conjunto contiver menos vetores que o número de componentes de cada vetor, então o conjunto será linearmente independente.”
Em R^n, ter menos de n vetores não garante independência; eles podem estar alinhados. Por exemplo, em R^3 os vetores (1,0,0) e (2,0,0) são apenas 2 vetores (❤️) mas são linearmente dependentes. Portanto (c) é Falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação (d): “Se um conjunto em R^n for linearmente dependente, então o conjunto conterá mais que n vetores.”
O teorema diz que todo conjunto com mais de n vetores em R^n é dependente, mas o recíproco não vale: mesmo com menos de n vetores é possível ter dependência (como no exemplo anterior). Logo (d) é Falsa.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Falsa.
(d) Falsa.

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