Um estojo contém exatamente 9 canetas esferográficas, sendo: 5 de tinta azul e 4 de tinta vermelha. Retirando aleatoriamente 5 canetas desse estojo, sucessivamente e sem reposição, calcule a probabilidade de saírem:
3 de tinta azul e 2 de tinta vermelha.

Passo 1

O enunciado nos dá um estojo com 9 canetas, sendo 5 azuis e 4 vermelhas, e pede a probabilidade de, ao retirar 5 canetas sem reposição, saírem exatamente 3 azuis e 2 vermelhas. O conteúdo aqui é a distribuição hipergeométrica, que modela extrações sem reposição a partir de duas cores.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica, a probabilidade de extrair exatamente k sucessos (canetas azuis) em n retiradas de uma população de tamanho N com K sucessos é dada por
P(X = k) \;=\; \frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
Aqui N=9, K=5, n=5 e k=3.

Passo 3

Calculamos as combinações envolvidas:
\binom{K}{k} \;=\;\binom{5}{3} = \frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10,
\binom{N-K}{\,n-k\,} \;=\;\binom{4}{2} = \frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6,
\binom{N}{n} \;=\;\binom{9}{5} = \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=126.

Passo 4

Substituindo na fórmula,
P(X=3) = \frac{\binom{5}{3}\,\binom{4}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{10 \times 6}{126} = \frac{60}{126} = \frac{10}{21}.

Resposta

A probabilidade de sair exatamente 3 canetas azuis e 2 vermelhas é \displaystyle \frac{10}{21}.

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