Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km . Qual a probabilidade de quem em:
a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes?
b) 300 km ocorram 5 acidentes?

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um problema de probabilidade. A estrada tem 2 acidentes para cada 100 km. A gente quer saber qual é a chance de, em:
a) 250 km, acontecerem pelo menos 3 acidentes;
b) 300 km, acontecerem exatamente 5 acidentes.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de eventos que acontecem de forma aleatória num intervalo fixo, como quilômetros de estrada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a taxa média de acidentes (λ) para cada situação. Sabemos que são 2 acidentes a cada 100 km, então para 250 km e 300 km:
Para 250 km:
lambda = 2 acidentes100 km times 250 km = 5 acidentes
Para 300 km:
lambda = 2 acidentes100 km times 300 km = 6 acidentes

Passo 3

Vamos lembrar da fórmula da distribuição de Poisson:
P(k; lambda) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ acidentes,
  • $ \lambda $ é a taxa média de acidentes,
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais,
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 4

Parte a) Queremos a probabilidade de pelo menos 3 acidentes em 250 km, ou seja, $ P(X \geq 3) $. É mais fácil calcular $ 1 - P(X < 3) = 1 - (P(0) + P(1) + P(2)) $.
Calculando cada termo:
P(X >= 3)
1 - P(X < 3) = 1 - (P(0) + P(1) + P(2))
P(0; 5) = 5^0 e^-50! = e^-5 approx 0,0067
Somando:
P(1; 5) = 5^1 e^-51! = 5e^-5 approx 0,0337
Então,
P(2; 5) = 5^2 e^-52! = 25 e^-52 approx 0,0842

Passo 5

Parte b) Queremos a probabilidade de exatamente 5 acidentes em 300 km, ou seja, $ P(X = 5) $ com $ \lambda = 6 $.
Usando a fórmula de Poisson:

Resposta

a) A probabilidade de ocorrer pelo menos 3 acidentes em 250 km é aproximadamente 87,54%.
b) A probabilidade de ocorrer exatamente 5 acidentes em 300 km é aproximadamente 15,54%.

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