Uma firma compra lâmpadas por centenas. Examina sempre uma amostra de 15 lâmpadas para verificar se estão boas. Se uma centena inclui 12 lâmpadas queimadas, qual a probabilidade de se escolher uma amostra com pelo menos uma lâmpada queimada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre probabilidade. Temos uma centena de lâmpadas, onde 12 estão queimadas. A firma escolhe uma amostra de 15 lâmpadas para testar. Queremos saber qual a probabilidade de que, nessa amostra, pelo menos uma lâmpada esteja queimada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações e probabilidade de eventos complementares.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que calcular a probabilidade de “pelo menos uma lâmpada queimada” pode ser complicado diretamente. Então, uma estratégia mais fácil é calcular a probabilidade do evento oposto, ou seja, nenhuma lâmpada queimada na amostra, e depois subtrair esse valor de 1.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de nenhuma lâmpada queimada ser escolhida. Para isso, precisamos saber quantas maneiras existem de escolher 15 lâmpadas boas dentre as 88 que não estão queimadas.
A fórmula para combinações é:
Onde:
- $ n $ é o total de itens,
- $ k $ é o número de itens escolhidos,
- $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números naturais até aquele número.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
- Total de maneiras de escolher 15 lâmpadas de 100:
- Total de maneiras de escolher 15 lâmpadas boas de 88:
Passo 5
Agora, a probabilidade de nenhuma lâmpada queimada ser escolhida é:
Resposta
Portanto, a probabilidade de escolher uma amostra com pelo menos uma lâmpada queimada é:
Ou seja, aproximadamente 80,1% de chance de selecionar pelo menos uma lâmpada queimada na amostra.