Uma firma compra lâmpadas por centenas. Examina sempre uma amostra de 15 lâmpadas para verificar se estão boas. Se uma centena inclui 12 lâmpadas queimadas, qual a probabilidade de se escolher uma amostra com pelo menos uma lâmpada queimada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre probabilidade. Temos uma centena de lâmpadas, onde 12 estão queimadas. A firma escolhe uma amostra de 15 lâmpadas para testar. Queremos saber qual a probabilidade de que, nessa amostra, pelo menos uma lâmpada esteja queimada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações e probabilidade de eventos complementares.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que calcular a probabilidade de “pelo menos uma lâmpada queimada” pode ser complicado diretamente. Então, uma estratégia mais fácil é calcular a probabilidade do evento oposto, ou seja, nenhuma lâmpada queimada na amostra, e depois subtrair esse valor de 1.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de nenhuma lâmpada queimada ser escolhida. Para isso, precisamos saber quantas maneiras existem de escolher 15 lâmpadas boas dentre as 88 que não estão queimadas.
A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens,
  • $ k $ é o número de itens escolhidos,
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números naturais até aquele número.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
  • Total de maneiras de escolher 15 lâmpadas de 100:
C(100, 15) = 100!15!(85)!
  • Total de maneiras de escolher 15 lâmpadas boas de 88:
C(88, 15) = 88!15!(73)!

Passo 5

Agora, a probabilidade de nenhuma lâmpada queimada ser escolhida é:
P(nenhuma queimada) = C(88, 15)C(100, 15)

Resposta

Portanto, a probabilidade de escolher uma amostra com pelo menos uma lâmpada queimada é:
P(pelo menos uma queimada) = 1 - C(88, 15)C(100, 15) approx 1 - 0,199 approx 0,801
Ou seja, aproximadamente 80,1% de chance de selecionar pelo menos uma lâmpada queimada na amostra.

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