Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos até a ocorrência da primeira cara. Determine:
a) P(X <= 3).
b) P(X>2).
c) P(4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar uma moeda justa até cair a primeira cara. A variável aleatória $ X $ representa quantos lançamentos fazemos até obter essa primeira cara. Vamos usar o conceito de distribuição geométrica, que é perfeito para esse tipo de situação onde queremos saber a probabilidade de obter o primeiro sucesso (cara) em um certo número de tentativas. Precisamos entender que cada lançamento é independente e que a probabilidade de dar cara é sempre $ \frac{1}{2} $.

Passo 2

Parte a) $ P(X \leq 3) $
Aqui, queremos a probabilidade de obter a primeira cara em até 3 lançamentos. Isso inclui obter a cara no primeiro, segundo ou terceiro lançamento.
A fórmula da distribuição geométrica é:
P(X <= 3)
onde $ p $ é a probabilidade de sucesso (cara), que é $ \frac{1}{2} $.
Então, calculamos:
P(X = k) = (1 - p)^k-1 cdot p
Calculando cada termo:
p
12
P(X <= 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
Somando tudo:
P(X=1) = (12)^0 cdot 12 = 12

Passo 3

Parte b) $ P(X > 2) $
Aqui, queremos a probabilidade de que o primeiro cara ocorra depois do segundo lançamento, ou seja, no terceiro lançamento ou além.
Usamos a complementaridade:
P(X > 2)
Primeiro calculamos $ P(X \leq 2) $:
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2)
Então:
P(X <= 2)

Passo 4

Parte c) $ P(4 < X \leq 6) $
Queremos a probabilidade de que o primeiro cara ocorra entre o quinto e o sexto lançamento.
Isso significa:
P(4 < X <= 6)
Usando a fórmula da distribuição geométrica:
P(4 < X <= 6) = P(X=5) + P(X=6)
P(X=5) = (12)^4 cdot 12 = 132
Somando:
P(X=6) = (12)^5 cdot 12 = 164

Resposta

a) $ P(X \leq 3) = \frac{7}{8} $
b) $ P(X > 2) = \frac{1}{4} $
c) $ P(4 < X \leq 6) = \frac{3}{64} $

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