Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos até a ocorrência da primeira cara. Determine:
a)
.
b)
.
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar uma moeda justa até cair a primeira cara. A variável aleatória $ X $ representa quantos lançamentos fazemos até obter essa primeira cara. Vamos usar o conceito de distribuição geométrica, que é perfeito para esse tipo de situação onde queremos saber a probabilidade de obter o primeiro sucesso (cara) em um certo número de tentativas. Precisamos entender que cada lançamento é independente e que a probabilidade de dar cara é sempre $ \frac{1}{2} $.
Passo 2
Parte a) $ P(X \leq 3) $
Aqui, queremos a probabilidade de obter a primeira cara em até 3 lançamentos. Isso inclui obter a cara no primeiro, segundo ou terceiro lançamento.
A fórmula da distribuição geométrica é:
onde $ p $ é a probabilidade de sucesso (cara), que é $ \frac{1}{2} $.
Então, calculamos:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 3
Parte b) $ P(X > 2) $
Aqui, queremos a probabilidade de que o primeiro cara ocorra depois do segundo lançamento, ou seja, no terceiro lançamento ou além.
Usamos a complementaridade:
Primeiro calculamos $ P(X \leq 2) $:
Então:
Passo 4
Parte c) $ P(4 < X \leq 6) $
Queremos a probabilidade de que o primeiro cara ocorra entre o quinto e o sexto lançamento.
Isso significa:
Usando a fórmula da distribuição geométrica:
Somando:
Resposta
a) $ P(X \leq 3) = \frac{7}{8} $
b) $ P(X > 2) = \frac{1}{4} $
c) $ P(4 < X \leq 6) = \frac{3}{64} $