Sabe-se que 20% dos animais submetidos a certo tratamento não sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de não-sobreviventes:
a) Calcular
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b) Calcular
.
a) Calcular
b) Calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com probabilidade binomial, que é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso). Aqui, a gente tem 20 animais submetidos a um tratamento, e cada animal tem 20% de chance de não sobreviver. Nosso objetivo é calcular algumas probabilidades relacionadas ao número de animais que não sobrevivem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial que precisamos:
- Número de tentativas (n): 20 animais
- Probabilidade de sucesso §: 20% de não sobrevivência, ou seja, $ p = 0,20 $
- Variável aleatória (X): número de animais que não sobrevivem
A distribuição binomial nos permite calcular a probabilidade de ocorrer exatamente k “sucessos” (neste caso, não sobrevivências) usando a fórmula:
Onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações possíveis de k sucessos em n tentativas.
Passo 3
a) Calcular $ P(2 < X \leq 4) $
Essa probabilidade significa a chance de que o número de não sobreviventes seja maior que 2 e até 4, ou seja, $ P(3 \leq X \leq 4) $. Vamos calcular $ P(X = 3) $ e $ P(X = 4) $ e somar esses valores.
Primeiro, calculamos $ P(X = 3) $:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:
Agora, calculamos $ P(X = 4) $:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:
Agora, somamos as duas probabilidades:
Passo 4
b) Calcular $ P(X \geq 2) $
Essa probabilidade significa a chance de que o número de não sobreviventes seja pelo menos 2. Podemos calcular isso de duas maneiras:
- Somando as probabilidades de $ X = 2, 3, ···, 20 $
- Usando o complemento: $ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] $
Vamos usar a segunda abordagem, que é mais fácil.
Primeiro, calculamos $ P(X = 0) $:
Agora, calculamos $ P(X = 1) $:
Somamos essas probabilidades:
Finalmente, calculamos $ P(X \geq 2) $:
Resposta
a) $ P(2 < X \leq 4) \approx 0,321 $
b) $ P(X \geq 2) \approx 0,9315 $