Prove que a distribuição de Bernoulli é um caso particular da distribuição Binomial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que a distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição Binomial. Isso está dentro da matéria de Probabilidade e Estatística. Pra resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas distribuições funciona e mostrar como a de Bernoulli se encaixa na binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Binomial. Ela descreve o número de sucessos em uma sequência de n tentativas independentes, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade p de sucesso. A fórmula da probabilidade é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de n itens tomados k a k.

Passo 3

Agora, a distribuição de Bernoulli é basicamente um caso onde temos apenas uma tentativa. Ou seja, n = 1. Na distribuição de Bernoulli, a variável aleatória $ X $ pode ser 1 (sucesso) ou 0 (fracasso) com probabilidades p e 1-p, respectivamente. A fórmula fica:
X

Passo 4

Para provar que a distribuição de Bernoulli é um caso especial da Binomial, vamos substituir n = 1 na fórmula da Binomial:
P(X = k) = binom1k p^k (1-p)^1-k
Como k pode ser 0 ou 1, vamos calcular para cada caso.

Passo 5

Quando k = 1:
P(X = 1) = binom11 p^1 (1-p)^0 = 1 cdot p cdot 1 = p
Quando k = 0:
P(X = 0) = binom10 p^0 (1-p)^1 = 1 cdot 1 cdot (1-p) = 1-p

Passo 6

Viu só? As probabilidades que obtivemos para k = 1 e k = 0 são exatamente as da distribuição de Bernoulli. Isso mostra que, quando temos apenas uma tentativa (n = 1), a distribuição Binomial se comporta como a distribuição de Bernoulli.

Resposta

Assim, provamos que a distribuição de Bernoulli é um caso particular da distribuição Binomial quando o número de tentativas n é igual a 1.

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