Prove que a distribuição de Bernoulli é um caso particular da distribuição Binomial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que a distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição Binomial. Isso está dentro da matéria de Probabilidade e Estatística. Pra resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas distribuições funciona e mostrar como a de Bernoulli se encaixa na binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Binomial. Ela descreve o número de sucessos em uma sequência de n tentativas independentes, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade p de sucesso. A fórmula da probabilidade é:
onde $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de n itens tomados k a k.
Passo 3
Agora, a distribuição de Bernoulli é basicamente um caso onde temos apenas uma tentativa. Ou seja, n = 1. Na distribuição de Bernoulli, a variável aleatória $ X $ pode ser 1 (sucesso) ou 0 (fracasso) com probabilidades p e 1-p, respectivamente. A fórmula fica:
Passo 4
Para provar que a distribuição de Bernoulli é um caso especial da Binomial, vamos substituir n = 1 na fórmula da Binomial:
Como k pode ser 0 ou 1, vamos calcular para cada caso.
Passo 5
Quando k = 1:
Quando k = 0:
Passo 6
Viu só? As probabilidades que obtivemos para k = 1 e k = 0 são exatamente as da distribuição de Bernoulli. Isso mostra que, quando temos apenas uma tentativa (n = 1), a distribuição Binomial se comporta como a distribuição de Bernoulli.
Resposta
Assim, provamos que a distribuição de Bernoulli é um caso particular da distribuição Binomial quando o número de tentativas n é igual a 1.