Uma estratégia que podemos aplicar para calcular determinados limites de funções é a regra de l’Hospital. Nesse contexto, considere o limite indicado a seguir: lim x → 0 1 + x - 1 - x 2 x 2 Calculando o limite apresentado pela regra de l’Hospital, obtemos como resultado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
limx to 0 1 + x - 1 - x^2x^2
A matéria que vamos usar aqui é a Regra de l’Hospital, que é uma técnica para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞. Vamos precisar derivar o numerador e o denominador para aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
1 + x - 1 - x^2x^2 = x - x^2x^2 = x(1 - x)x^2 = 1 - xx
Agora, ao tentar substituir $ x = 0 $ diretamente, temos:
x = 0
Isso nos dá uma forma indefinida $ \frac{0}{0} $, então podemos usar a Regra de l’Hospital.

Passo 3

Segundo a Regra de l’Hospital, se temos um limite da forma $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador da função original:
  • Numerador: $ f(x) = 1 + x - 1 - x^2 = x - x^2 $ 00
  • Denominador: $ g(x) = x^2 $ inftyinfty

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de l’Hospital substituindo as derivadas no limite:
limx to 0 f'(x)g'(x) = limx to 0 1 - 2x2x
Tentando substituir $ x = 0 $ novamente:
x = 0
Ainda temos uma forma indefinida, então aplicamos a Regra de l’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador:
  • Novamente para o numerador: $ f’(x) = 1 - 2x $ f'(x) = 1 - 2x
  • E para o denominador: $ g’(x) = 2x $ f''(x) = -2

Passo 6

Aplicando a Regra de l’Hospital pela segunda vez:
limx to 0 f''(x)g''(x) = limx to 0 -22 = -22 = -1

Resposta

O limite calculado pela Regra de l’Hospital é -1.

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