Uma estratégia que podemos aplicar para calcular determinados limites de funções é a regra de l’Hospital. Nesse contexto, considere o limite indicado a seguir: lim x → 0 1 + x - 1 - x 2 x 2 Calculando o limite apresentado pela regra de l’Hospital, obtemos como resultado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
A matéria que vamos usar aqui é a Regra de l’Hospital, que é uma técnica para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞. Vamos precisar derivar o numerador e o denominador para aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Agora, ao tentar substituir $ x = 0 $ diretamente, temos:
Isso nos dá uma forma indefinida $ \frac{0}{0} $, então podemos usar a Regra de l’Hospital.
Passo 3
Segundo a Regra de l’Hospital, se temos um limite da forma $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador da função original:
- Numerador: $ f(x) = 1 + x - 1 - x^2 = x - x^2 $
- Denominador: $ g(x) = x^2 $
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de l’Hospital substituindo as derivadas no limite:
Tentando substituir $ x = 0 $ novamente:
Ainda temos uma forma indefinida, então aplicamos a Regra de l’Hospital mais uma vez.
Passo 5
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador:
- Novamente para o numerador: $ f’(x) = 1 - 2x $
- E para o denominador: $ g’(x) = 2x $
Passo 6
Aplicando a Regra de l’Hospital pela segunda vez:
Resposta
O limite calculado pela Regra de l’Hospital é
.