Ao observar os dados da tabela abaixo ajuste os pontos para uma curva do tipo y =b0 + b1x + b2x². Considere quatro casas decimais
xi | 0 | 1,2 | 3 | 4,5 |yi | 1 | 3,3 | 5 | 2 |y = -4,4513 + 2,2309x - 0,7798x²y = 0,8087 + 3,2175x -0,6493x²y = 3,2175 - 2,3409x -0,7798x²y = 0,6493 + 3,2175x -0,8087x²y = -2,2309 - 4,4513x -0,6493x²
xi | 0 | 1,2 | 3 | 4,5 |yi | 1 | 3,3 | 5 | 2 |y = -4,4513 + 2,2309x - 0,7798x²y = 0,8087 + 3,2175x -0,6493x²y = 3,2175 - 2,3409x -0,7798x²y = 0,6493 + 3,2175x -0,8087x²y = -2,2309 - 4,4513x -0,6493x²
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela com alguns pontos (xi, yi) e precisa ajustar esses pontos a uma curva do tipo $ y = b_0 + b_1x + b_2x^2 $. Isso significa que queremos encontrar os valores de $ b_0 $, $ b_1 $ e $ b_2 $ que melhor representam a relação entre x e y nesse formato quadrático. Para resolver isso, vamos usar um método chamado regressão quadrática, onde vamos montar um sistema de equações para encontrar esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os pontos que temos:
- Quando $ x = 0 $, $ y = 1 $
- Quando $ x = 1,2 $, $ y = 3,3 $
- Quando $ x = 3 $, $ y = 5 $
- Quando $ x = 4,5 $, $ y = 2 $
Como temos uma equação do segundo grau, precisamos de três equações para resolvermos os três coeficientes $ b_0 $, $ b_1 $ e $ b_2 $. Vamos usar os três primeiros pontos para montar o sistema de equações.
Passo 3
Para cada ponto, substituímos x e y na equação $ y = b_0 + b_1x + b_2x^2 $. Vamos fazer isso para os três primeiros pontos:
-
Para $ x = 0 $, $ y = 1 $:
-
Para $ x = 1,2 $, $ y = 3,3 $:
-
Para $ x = 3 $, $ y = 5 $:
Passo 4
Sabemos já que $ b_0 = 1 $. Vamos substituir esse valor nas outras duas equações:
Para o segundo ponto:
Para o terceiro ponto:
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 25 para eliminar os decimais:
A segunda equação multiplicada por 1:
Passo 6
Vamos multiplicar a segunda equação por 10 para facilitar a eliminação:
Agora, temos:
Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
Passo 7
Com o valor de $ b_2 $, vamos substituir na equação (2):
Passo 8
Então, temos:
Então, a equação ajustada é:
Resposta
A curva ajustada é $ y = 1 + 2,3056x - 0,3241x^2 $.