Ao observar os dados da tabela abaixo ajuste os pontos para uma curva do tipo y =b0 + b1x + b2x². Considere quatro casas decimais
xi | 0 | 1,2 | 3 | 4,5 |yi | 1 | 3,3 | 5 | 2 |y = -4,4513 + 2,2309x - 0,7798x²y = 0,8087 + 3,2175x -0,6493x²y = 3,2175 - 2,3409x -0,7798x²y = 0,6493 + 3,2175x -0,8087x²y = -2,2309 - 4,4513x -0,6493x²

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela com alguns pontos (xi, yi) e precisa ajustar esses pontos a uma curva do tipo $ y = b_0 + b_1x + b_2x^2 $. Isso significa que queremos encontrar os valores de $ b_0 $, $ b_1 $ e $ b_2 $ que melhor representam a relação entre x e y nesse formato quadrático. Para resolver isso, vamos usar um método chamado regressão quadrática, onde vamos montar um sistema de equações para encontrar esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os pontos que temos:
  • Quando $ x = 0 $, $ y = 1 $
  • Quando $ x = 1,2 $, $ y = 3,3 $
  • Quando $ x = 3 $, $ y = 5 $
  • Quando $ x = 4,5 $, $ y = 2 $
Como temos uma equação do segundo grau, precisamos de três equações para resolvermos os três coeficientes $ b_0 $, $ b_1 $ e $ b_2 $. Vamos usar os três primeiros pontos para montar o sistema de equações.

Passo 3

Para cada ponto, substituímos x e y na equação $ y = b_0 + b_1x + b_2x^2 $. Vamos fazer isso para os três primeiros pontos:
  1. Para $ x = 0 $, $ y = 1 $:
    y = b0 + b1x + b2x^2
  2. Para $ x = 1,2 $, $ y = 3,3 $:
    x = 0
    y = 1
  3. Para $ x = 3 $, $ y = 5 $:
    1 = b0 + b1(0) + b2(0)^2 Rightarrow 1 = b0
    x = 1,2

Passo 4

Sabemos já que $ b_0 = 1 $. Vamos substituir esse valor nas outras duas equações:
Para o segundo ponto:
b0 = 1
Para o terceiro ponto:
3,3 = 1 + 1,2b1 + 1,44b2 Rightarrow 2,3 = 1,2b1 + 1,44b2 (1)

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
2,3 = 1,2b1 + 1,44b2 4 = 3b1 + 9b2
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 25 para eliminar os decimais:
2,3 times 25 = 1,2b1 times 25 + 1,44b2 times 25 Rightarrow 57,5 = 30b1 + 36b2 (1')
A segunda equação multiplicada por 1:
4 = 3b1 + 9b2 (2)

Passo 6

Vamos multiplicar a segunda equação por 10 para facilitar a eliminação:
4 times 10 = 3b1 times 10 + 9b2 times 10 Rightarrow 40 = 30b1 + 90b2 (2')
Agora, temos:
57,5 = 30b1 + 36b2 40 = 30b1 + 90b2
Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
40 - 57,5 = (30b1 - 30b1) + (90b2 - 36b2)
-17,5 = 54b2 Rightarrow b2 = -17,554 approx -0,3241

Passo 7

Com o valor de $ b_2 $, vamos substituir na equação (2):
b2
4 = 3b1 + 9(-0,3241)

Passo 8

Então, temos:
b0 = 1
b1 approx 2,3056
b2 approx -0,3241
Então, a equação ajustada é:
y = 1 + 2,3056x - 0,3241x^2

Resposta

A curva ajustada é $ y = 1 + 2,3056x - 0,3241x^2 $.

Exercícios relacionados