Uma estrela está localizada a 5 anos-luz da Terra ( 1 ano-luz representa a distância percorrida pela luz em um ano). A que velocidade uma espaçonave deve viajar em sua jornada até a estrela de modo que a distância Terra-estrela medida no referencial da espaçonave seja de 2 anos-luz?
(Solução: beta=0.917 )

Passo 1

Vamos resumir o problema: uma estrela está a 5 anos-luz da Terra, e queremos descobrir a que velocidade uma espaçonave precisa viajar para que, no referencial da espaçonave, essa distância seja de apenas 2 anos-luz. Para resolver isso, vamos usar conceitos da relatividade especial, especificamente a contração de comprimento.

Passo 2

Na relatividade especial, quando um objeto se move em relação a um referencial, as medidas de comprimento nesse referencial podem ser diferentes devido ao fenômeno da contração de comprimento. A fórmula para a contração de comprimento é:
L' = L raiz1 - beta^2
onde:
  • é o comprimento no referencial da espaçonave,
  • é o comprimento no referencial da Terra,
  • , sendo a velocidade da espaçonave e a velocidade da luz.

Passo 3

Queremos encontrar 2 = 5 raiz1 - beta^2 tal que anos-luz e anos-luz. Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos resolver para raiz1 - beta^2 = dfrac25 :
  1. Dividimos ambos os lados por 5:
1 - beta^2 = ( dfrac25 )^2 1 - beta^2 = dfrac425
  1. Elevamos ambos os lados ao quadrado:
beta^2 = 1 - dfrac425 beta^2 = dfrac2125
  1. Isolamos beta = raizdfrac2125 beta approx 0,9165 :
  1. Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A velocidade necessária para a espaçonave é aproximadamente vezes a velocidade da luz.

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