Uma partícula de carga q1=-8 e está localizada em x=L, e uma partícula de carga q2=2 e está localizada em x=2 L. Quais devem ser o módulo e o sinal de uma carga q3 localizada em x=4 L para que ब torca resultanto sobre um próton localizado na origem seja nula? Mudaria algo se a partícula localizada na origem fosse um elétron?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos três cargas elétricas posicionadas ao longo do eixo x: uma carga q1 = -8e em x = L, uma carga q2 = 2e em x = 2L e uma carga q3 que está em x = 4L. Além disso, há um próton (que é uma partícula com carga positiva) localizado na origem ( x = 0). A pergunta é: qual deve ser o módulo e o sinal da carga q3 para que a torção (torque) resultante sobre o próton seja nula? E se, em vez do próton, tivéssemos um elétron na origem, isso mudaria? Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de força elétrica, torque e como essas grandezas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = ke |q1 q2|r^2
onde ke é a constante eletrostática, q1 e q2 são as cargas, e r é a distância entre elas. Além disso, o torque ( tau) exercido por uma força em relação ao ponto de rotação é dado por:
tau = r times F
No nosso caso, queremos que a soma dos torques exercidos pelas cargas q1, q2 e q3 sobre o próton na origem seja zero.

Passo 3

Vamos identificar as forças que cada carga exerce sobre o próton na origem. Como o próton tem carga positiva ( +e), as forças entre ele e as outras partículas dependerão do sinal das cargas:
  • A carga q1 = -8e vai atrair o próton.
  • A carga q2 = 2e vai repelir o próton.
  • A carga q3, que queremos determinar, pode atrair ou repelir o próton dependendo do seu sinal.

Passo 4

Vamos calcular o torque de cada uma dessas forças em relação à origem. O torque é positivo quando a força tende a causar uma rotação no sentido anti-horário e negativo no sentido horário.
Primeiro, a força exercida por q1:
F1 = ke |q1 cdot e|L^2 = ke 8e^2L^2
A direção dessa força é para a direita (pois q1 é negativa e atrai o próton). O torque causado por q1 é:
tau1 = L cdot F1 = L cdot ke 8e^2L^2 = ke 8e^2L
Como a força está puxando o próton para a direita, o torque será no sentido anti-horário, portanto positivo.

Passo 5

Agora, a força exercida por q2:
F2 = ke |q2 cdot e|(2L)^2 = ke 2e^24L^2 = ke e^22L^2
A direção dessa força é para a direita (pois q2 é positiva e repulsa o próton). O torque causado por q2 é:
tau2 = 2L cdot F2 = 2L cdot ke e^22L^2 = ke e^2L
Assim como q1, a força de q2 também causa um torque no sentido anti-horário, então tau2 é positivo.

Passo 6

Agora, vamos considerar a carga q3 localizada em x = 4L. A força exercida por q3 sobre o próton é:
F3 = ke |q3 cdot e|(4L)^2 = ke |q3| e16L^2
Dependendo do sinal de q3, a força será atrativa (se q3 for negativa) ou repulsiva (se positiva).
O torque causado por q3 será:
tau3 = 4L cdot F3 = 4L cdot ke |q3| e16L^2 = ke |q3| e4L
A direção do torque depende do sinal de q3:
  • Se q3 for negativa, a força puxa o próton para a esquerda, causando um torque no sentido horário (negativo).
  • Se q3 for positiva, a força empurra o próton para a direita, também causando um torque no sentido anti-horário (positivo).

Passo 7

Queremos que a soma dos torques seja zero:
tau1 + tau2 + tau3 = 0
Substituindo os valores:
ke 8e^2L + ke e^2L pm ke |q3| e4L = 0
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por ke/L:
8e^2 + e^2 pm |q3| e4 = 0
Simplificando ainda mais:
9e^2 pm |q3| e4 = 0

Passo 8

Resolvendo para |q3|:
pm |q3| e4 = -9e^2
Multiplicando ambos os lados por 4:
pm |q3| e = -36e^2
Dividindo por e:
pm |q3| = -36e
Para que a igualdade seja válida, consideramos o sinal negativo:
-|q3| = -36e implies |q3| = 36e
Portanto, a carga q3 deve ter módulo 36e e sinal negativo para que o torque total seja zero.

Resposta

A carga q3 deve ter módulo 36,e e sinal negativo, ou seja, q3 = -36,e, para que o torque resultante sobre o próton na origem seja nulo. Se, ao invés de um próton, houvesse um elétron na origem, o sinal da carga q3 permaneceria o mesmo, pois tanto o próton quanto o elétron possuem cargas de mesma magnitude mas sinais opostos, mas o cálculo do torque consideraria a carga negativa do elétron, mantendo a necessidade de q3 ser -36,e para anular o torque.

Exercícios relacionados