Uma partícula de carga
está localizada em
, e uma partícula de carga
está localizada em
. Quais devem ser o módulo e o sinal de uma carga
localizada em
para que ब torca resultanto sobre um próton localizado na origem seja nula? Mudaria algo se a partícula localizada na origem fosse um elétron?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos três cargas elétricas posicionadas ao longo do eixo x: uma carga
em
, uma carga
em
e uma carga
que está em
. Além disso, há um próton (que é uma partícula com carga positiva) localizado na origem (
). A pergunta é: qual deve ser o módulo e o sinal da carga
para que a torção (torque) resultante sobre o próton seja nula? E se, em vez do próton, tivéssemos um elétron na origem, isso mudaria? Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de força elétrica, torque e como essas grandezas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
onde
é a constante eletrostática,
e
são as cargas, e
é a distância entre elas. Além disso, o torque (
) exercido por uma força em relação ao ponto de rotação é dado por:
No nosso caso, queremos que a soma dos torques exercidos pelas cargas
,
e
sobre o próton na origem seja zero.
Passo 3
Vamos identificar as forças que cada carga exerce sobre o próton na origem. Como o próton tem carga positiva (
), as forças entre ele e as outras partículas dependerão do sinal das cargas:
- A carga
vai atrair o próton. - A carga
vai repelir o próton. - A carga
, que queremos determinar, pode atrair ou repelir o próton dependendo do seu sinal.
Passo 4
Vamos calcular o torque de cada uma dessas forças em relação à origem. O torque é positivo quando a força tende a causar uma rotação no sentido anti-horário e negativo no sentido horário.
Primeiro, a força exercida por
:
A direção dessa força é para a direita (pois
é negativa e atrai o próton). O torque causado por
é:
Como a força está puxando o próton para a direita, o torque será no sentido anti-horário, portanto positivo.
Passo 5
Agora, a força exercida por
:
A direção dessa força é para a direita (pois
é positiva e repulsa o próton). O torque causado por
é:
Assim como
, a força de
também causa um torque no sentido anti-horário, então
é positivo.
Passo 6
Agora, vamos considerar a carga
localizada em
. A força exercida por
sobre o próton é:
Dependendo do sinal de
, a força será atrativa (se
for negativa) ou repulsiva (se positiva).
O torque causado por
será:
A direção do torque depende do sinal de
:
- Se
for negativa, a força puxa o próton para a esquerda, causando um torque no sentido horário (negativo). - Se
for positiva, a força empurra o próton para a direita, também causando um torque no sentido anti-horário (positivo).
Passo 7
Queremos que a soma dos torques seja zero:
Substituindo os valores:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Simplificando ainda mais:
Passo 8
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Dividindo por
:
Para que a igualdade seja válida, consideramos o sinal negativo:
Portanto, a carga
deve ter módulo
e sinal negativo para que o torque total seja zero.
Resposta
A carga
deve ter módulo
e sinal negativo, ou seja,
, para que o torque resultante sobre o próton na origem seja nulo. Se, ao invés de um próton, houvesse um elétron na origem, o sinal da carga
permaneceria o mesmo, pois tanto o próton quanto o elétron possuem cargas de mesma magnitude mas sinais opostos, mas o cálculo do torque consideraria a carga negativa do elétron, mantendo a necessidade de
ser
para anular o torque.