Vibrações da Rede Cristalina (1,5 pts)
Como a capacidade térmica dos sólidos muda com a temperatura de acordo com o modelo de Debye?
Como a capacidade térmica dos sólidos muda com a temperatura de acordo com o modelo de Debye?
Passo 1
O enunciado pergunta como a capacidade térmica a volume constante de um sólido,
, varia com a temperatura segundo o modelo de Debye. Esse conteúdo pertence à física da matéria condensada e requer conhecimentos sobre fônons, densidade de estados vibracionais e a função de Debye para capacitação térmica.
Passo 2
No modelo de Debye, os modos vibracionais do sólido são tratados como fônons acústicos com velocidade de fase aproximadamente constante até uma frequência de corte
. A capacidade térmica é obtida somando a energia média de cada modo:
onde
é o número de átomos,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura de Debye.
Passo 3
No regime de baixas temperaturas (
), a integral acima pode ser aproximada usando expansão para grandes limites superiores, levando ao chamado lei de Debye:
ou seja,
. Isso explica a forte queda da capacidade térmica ao diminuir
.
Passo 4
No regime de altas temperaturas (
), o integrando estende-se até valores grandes de
e a integral tende a
. Nesse limite surge o dulong–petit,
isto é, a capacidade térmica atinge um valor constante, independente de
.
Resposta
Segundo o modelo de Debye,
cresce como
para
e tende a um valor constante
(lei de Dulong–Petit) para
.