Vibrações da Rede Cristalina (1,5 pts)
Como a capacidade térmica dos sólidos muda com a temperatura de acordo com o modelo de Debye?

Passo 1

O enunciado pergunta como a capacidade térmica a volume constante de um sólido, C_V, varia com a temperatura segundo o modelo de Debye. Esse conteúdo pertence à física da matéria condensada e requer conhecimentos sobre fônons, densidade de estados vibracionais e a função de Debye para capacitação térmica.

Passo 2

No modelo de Debye, os modos vibracionais do sólido são tratados como fônons acústicos com velocidade de fase aproximadamente constante até uma frequência de corte \omega_D. A capacidade térmica é obtida somando a energia média de cada modo:
C_V =9N k_B \Bigl(\frac{T}{\Theta_D}\Bigr)^3 \int_{0}^{\Theta_D/T} \frac{x^4 e^x}{(e^x-1)^2}\,dx
onde N é o número de átomos, k_B é a constante de Boltzmann e \Theta_D=\hbar\omega_D/k_B é a temperatura de Debye.

Passo 3

No regime de baixas temperaturas ( T\ll\Theta_D), a integral acima pode ser aproximada usando expansão para grandes limites superiores, levando ao chamado lei de Debye:
C_V\approx \frac{12\pi^4}{5}N k_B\Bigl(\frac{T}{\Theta_D}\Bigr)^3,
ou seja, C_V\propto T^3. Isso explica a forte queda da capacidade térmica ao diminuir T.

Passo 4

No regime de altas temperaturas ( T\gg\Theta_D), o integrando estende-se até valores grandes de x e a integral tende a \int_0^{\infty}x^4e^{-x}dx=24. Nesse limite surge o dulong–petit,
C_V\to 3N k_B,
isto é, a capacidade térmica atinge um valor constante, independente de T.

Resposta

Segundo o modelo de Debye, C_V cresce como T^3 para T\ll\Theta_D e tende a um valor constante 3N k_B (lei de Dulong–Petit) para T\gg\Theta_D.

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