Uma estrutura metálica em forma de arco parabólico tem sua altura (em metros), em função da posição na base (x) (também em metros), descrita por:
Com base nessa função, assinale a alternativa correta:
a) A altura máxima da estrutura é 40 m , e ela toca o solo nas posições
.
b) A altura máxima ocorre quando (
)
, e os pontos de interseção com o solo são
.
c) A função atinge um valor máximo, pois o coeficiente de (
) é negativo. No entanto, seus pontos de interseção com o solo não podem ser identificados sem o cálculo do discriminante.
d) A largura da base entre os pontos em que a estrutura toca o solo é 6 metros, e sua altura máxima é 14 metros.
a) A altura máxima da estrutura é 40 m , e ela toca o solo nas posições
b) A altura máxima ocorre quando (
c) A função atinge um valor máximo, pois o coeficiente de (
d) A largura da base entre os pontos em que a estrutura toca o solo é 6 metros, e sua altura máxima é 14 metros.
Passo 1
O enunciado dá a função altura da estrutura
onde
e a altura estão em metros. Pede-se identificar qual alternativa (a), (b), (c) ou (d) é correta entre as apresentadas. Informações relevantes fornecidas:
- A função polinomial do 2º grau é
. - As alternativas mencionam: posição do vértice (valor de
onde ocorre a altura máxima), valor da altura máxima e pontos onde a estrutura toca o solo (raízes da função, isto é, soluções de ).
Não vou resolver ainda; só organizei o que o problema dá e o que ele pede.
Passo 2
Entendendo o que a forma do polinômio nos diz (mini-aula):
- Uma função quadrática tem forma geral
. Aqui , , . - Se
a parábola abre para cima (mínimo). Se a parábola abre para baixo (máximo). Como , esta parábola tem um ponto máximo. - O
-do-vértice (onde ocorre o máximo ou mínimo) é dado pela fórmula
Breve motivo da fórmula (completing the square): escrevendo
vemos que o quadrado mínimo (ou máximo quando
) ocorre em
.
Passo 3
Aplicando a fórmula do vértice à nossa função:
Calcule passo a passo:
Logo o vértice está em
.
Passo 4
Agora calculamos a altura máxima substituindo
em
:
Calcule por partes:
Somando:
Portanto a altura máxima é
.
Passo 5
Agora encontramos onde a estrutura toca o solo, ou seja, resolvemos
:
Podemos simplificar multiplicando por
e dividindo por
:
Fatorando:
Então as raízes são
e
.
Observação alternativa (método do discriminante, só para praticar): para
o discriminante é
. Aqui, voltando à forma
, temos
, então
Passo 6
Calculando a largura da base entre os pontos de contato com o solo:
Resumo dos resultados obtidos:
- Vértice:
. - Altura máxima:
. - Pontos de interseção com o solo:
e .
Compare mentalmente com as alternativas e escolha a que coincidir com estes valores.
Resposta
b)