Uma estrutura metálica em forma de arco parabólico tem sua altura (em metros), em função da posição na base (x) (também em metros), descrita por: \left[f(x)=-2 x^{2}+16 x-30\right] Com base nessa função, assinale a alternativa correta:
a) A altura máxima da estrutura é 40 m , e ela toca o solo nas posições (x=3) m e(x=5) m.
b) A altura máxima ocorre quando ( x=4 ) m, e os pontos de interseção com o solo são (x=3) \mathrm{m} \mathrm{e}(x=5) \mathrm{m}.
c) A função atinge um valor máximo, pois o coeficiente de ( x^{\wedge} 2 ) é negativo. No entanto, seus pontos de interseção com o solo não podem ser identificados sem o cálculo do discriminante.
d) A largura da base entre os pontos em que a estrutura toca o solo é 6 metros, e sua altura máxima é 14 metros.

Passo 1

O enunciado dá a função altura da estrutura
f(x) = -2x^{2} + 16x - 30
onde x e a altura estão em metros. Pede-se identificar qual alternativa (a), (b), (c) ou (d) é correta entre as apresentadas. Informações relevantes fornecidas:
  • A função polinomial do 2º grau é \;f(x)=-2x^{2}+16x-30\;.
  • As alternativas mencionam: posição do vértice (valor de x onde ocorre a altura máxima), valor da altura máxima e pontos onde a estrutura toca o solo (raízes da função, isto é, soluções de f(x)=0).
    Não vou resolver ainda; só organizei o que o problema dá e o que ele pede.

Passo 2

Entendendo o que a forma do polinômio nos diz (mini-aula):
  • Uma função quadrática tem forma geral \;f(x)=ax^{2}+bx+c\;. Aqui a=-2, b=16, c=-30.
  • Se a>0 a parábola abre para cima (mínimo). Se a<0 a parábola abre para baixo (máximo). Como \;a=-2<0\;, esta parábola tem um ponto máximo.
  • O x-do-vértice (onde ocorre o máximo ou mínimo) é dado pela fórmula
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Breve motivo da fórmula (completing the square): escrevendo
f(x)=a\Bigl(x^{2}+\frac{b}{a}x\Bigr)+c = a\Bigl(\bigl(x+\tfrac{b}{2a}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2a}\bigr)^{2}\Bigr)+c,
vemos que o quadrado mínimo (ou máximo quando a<0) ocorre em x=-\tfrac{b}{2a}.

Passo 3

Aplicando a fórmula do vértice à nossa função:
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{2\cdot(-2)}.
Calcule passo a passo:
2\cdot(-2) = -4,\qquad -\frac{16}{-4} = 4.
Logo o vértice está em \;x_{v}=4\\ \text{m}.

Passo 4

Agora calculamos a altura máxima substituindo x=4 em f(x):
f(4) = -2\cdot 4^{2} + 16\cdot 4 - 30.
Calcule por partes:
4^{2}=16,\quad -2\cdot 16 = -32,\quad 16\cdot 4 = 64.
Somando:
-32 + 64 - 30 = 32 - 30 = 2.
Portanto a altura máxima é \;f(4)=2\\ \text{m}.

Passo 5

Agora encontramos onde a estrutura toca o solo, ou seja, resolvemos \;f(x)=0:
-2x^{2}+16x-30=0.
Podemos simplificar multiplicando por -1 e dividindo por 2:
2x^{2}-16x+30=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-8x+15=0.
Fatorando:
x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5).
Então as raízes são \;x=3\\ \text{m} e \;x=5\\ \text{m}.
Observação alternativa (método do discriminante, só para praticar): para \;ax^{2}+bx+c=0 o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Aqui, voltando à forma x^{2}-8x+15=0, temos a=1,b=-8,c=15, então
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot1\cdot15 = 64-60=4,
\sqrt{\Delta}=2, e as raízes são \frac{8\pm 2}{2}=5 e 3, confirmando.

Passo 6

Calculando a largura da base entre os pontos de contato com o solo:
\text{largura} = 5 - 3 = 2\\ \text{m}.
Resumo dos resultados obtidos:
  • Vértice: \;x_{v}=4\\ \text{m}.
  • Altura máxima: \;f(4)=2\\ \text{m}.
  • Pontos de interseção com o solo: \;x=3\\ \text{m} e \;x=5\\ \text{m}.
    Compare mentalmente com as alternativas e escolha a que coincidir com estes valores.

Resposta

b)

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