O índice de massa corpórea é calculado com a divisão do peso da pessoa pelo quadrado de sua altura; é uma medida que avalia se o indivíduo está com excesso de peso. Para a população masculina de meia-idade que mais tarde desenvolve a diabetes mellitus a
distribuição dos índices básicos de massa corpórea é aproximadamente normal, com média \mu e desvio padrão \sigma desconhecidos. Uma amostra de 58 homens selecionados desse grupo tem média \bar{x}=25 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2} e desvio padrão s=2,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}.
a) Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a média \mu da população. R:[24,30; 25,69] b) Ao nível de significância de 0,05 , teste se o índice básico médio de massa corpórea para a população masculina de meia-idade que desenvolve diabetes é igual a 24 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2} ( média para a população masculina que não desenvolve). \mathrm{R}: z_{t}= \pm 1,96, Z_{c}=2,82, rejeitamos H_{0}.

Passo 1

O enunciado trata de uma variável (IMC) com distribuição aproximadamente normal, média desconhecida \mu e desvio padrão desconhecido \sigma. Temos uma amostra de tamanho n=58 com média amostral \bar{x}=25, \mathrm{kg/m^2} e desvio padrão amostral s=2,7, \mathrm{kg/m^2}.
Conteúdos necessários:
– Para o intervalo de confiança de 95\% para \mu usamos a distribuição t de Student, pois \sigma é desconhecido.
– Para o teste de hipóteses H_0\colon\mu=24 versus H_1\colon\mu\neq24 ao nível \alpha=0,05 também usamos o estatístico t.

Passo 2

Para construir o intervalo de confiança de 95\% para \mu:
Calcule o erro padrão da média:
\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2,7}{\sqrt{58}}\approx0,3548.
Encontre o valor crítico
t_{0,975;\,57}\approx2,002
na tabela de t com df=n-1=57.
O erro máximo é
E = t_{0,975;\,57}\times\text{SE}\approx2,002\times0,3548\approx0,71.
Portanto o intervalo de confiança é
\bar{x}\pm E \quad\Longrightarrow\quad 25\pm0,71 \quad\Longrightarrow\quad [25-0,71;\,25+0,71] \quad=\quad [24,29;\,25,71].

Passo 3

Para testar
H_0\colon\mu=24 \quad\text{vs.}\quad H_1\colon\mu\neq24
ao nível \alpha=0,05 (teste bicaudal):
Calcule o estatístico
t = \frac{\bar{x}-24}{s/\sqrt{n}} = \frac{25-24}{2,7/\sqrt{58}} \approx2,82.
O ponto crítico é t_{0,975;\,57}\approx2,002, logo a região de rejeição é \{|t|>2,002\}. Como |2,82|>2,002, rejeitamos H_0.

Resposta

(a) \displaystyle[24,29;\,25,71]
(b) |t|=2,82>2,002, logo rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05.

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