Estudamos a importância da Análise Dimensional, Semelhança e Modelos na Engenharia e muitos destes estudos são realizados em túneis de vento. O maior túnel de vento do mundo éo NASA Ames Research Center, com 25 m largura e 35 m altura, equivalente a um prédio de 13 andares, localizado na Califórnia/USA.
Imagine que você esteja fazendo um estágio nessa empresa e é responsável pelo desenvolvimento de um novo protótipo de aeronave, a qual deverá se deslocar a 540 km / h no ar à 10 C(rhoar=1,25 kg / m^3) e à pressão atmosférica padrão. Seu chefe lhe incumbiu de fazer os cálculos para a obtenção da semelhança dinâmica e, após aplicar o Teorema dos Pis de Buckingham, você obteve dois adimensionais: Reynolds e Mach. Com base nisto:
(a) sendo a massa específica do ar no interior do túnel de 10,26 kg / m^3(25 C), e que tanto o critério de Re e Ma devem ser satisfeitos para se obter a semelhança dinâmica, calcule a escala do modelo que deve ser testada no túnel.
Nota: A viscosidade dinâmica independe da pressão; c=velocidade do som

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica na Engenharia, focando em túneis de vento. O problema é: você está desenvolvendo um modelo de aeronave que precisa voar a 540 km/h nas condições dadas e precisa calcular a escala desse modelo para testar no túnel de vento, garantindo que os números de Reynolds (Re) e Mach (Ma) sejam os mesmos no modelo e na aeronave real. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Buckingham Pi e calcular a escala necessária.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os números de Reynolds e Mach.
  • Número de Reynolds (Re): Esse número nos ajuda a entender se o fluxo ao redor da aeronave é laminar ou turbulento. Ele depende da velocidade, do comprimento característico (como o tamanho da aeronave), da densidade do ar e da viscosidade dinâmica.
    A fórmula do Re é:
    Re = rho V Lmu
    Onde:
    • rho é a densidade do ar,
    • V é a velocidade,
    • L é o comprimento característico,
    • mu é a viscosidade dinâmica.
  • Número de Mach (Ma): Esse número é a relação entre a velocidade do objeto e a velocidade do som no meio. Ele nos diz se o voo é subsônico, transônico ou supersônico.
    A fórmula do Ma é:
    Ma = Vc
    Onde:
    • V é a velocidade,
    • c é a velocidade do som.
Nosso objetivo é garantir que tanto Re quanto Ma sejam iguais para o modelo e para a aeronave real.

Passo 3

Vamos definir as variáveis para o modelo e para a aeronave real:
  • Aeronave Real:
    • Velocidade ( Vr): 540 km/h. Vamos converter para m/s: Vr = 540 times 10003600 = 150 , m/s
    • Densidade do ar ( rhor): 1.25 kg/m³.
    • Comprimento característico ( Lr): Vamos chamar de 1 (já que a escala será relativa).
    • Viscosidade dinâmica ( mur): Não foi fornecida, mas como a viscosidade dinâmica é independente da pressão, podemos considerar que a viscosidade permanece constante.
  • Modelo:
    • Densidade do ar no túnel ( rhom): 10.26 kg/m³.
    • Velocidade no túnel ( Vm): Precisamos encontrar.
    • Comprimento característico ( Lm): Nosso objetivo.
    • Viscosidade dinâmica ( mum): Igual à da aeronave real ( mu).

Passo 4

Como queremos que os números de Reynolds e Mach sejam iguais para o modelo e para a aeronave, temos:
Rer = Rem e Mar = Mam
Vamos começar igualando os números de Mach:
Mar = Vrc = Mam = Vmc
Isso implica que:
Vm = Vr
Ou seja, a velocidade no túnel deve ser a mesma que na aeronave real, 150 m/s.

Passo 5

Agora, vamos igualar os números de Reynolds:
Rer = rhor Vr Lrmu = Rem = rhom Vm Lmmu
Como Vm = Vr e mu é a mesma, podemos simplificar:
rhor Lr = rhom Lm
Queremos encontrar a escala $ \lambda = \frac{L_m}{L_r} $. Rearranjando a equação:
lambda = LmLr

Passo 6

Substituindo os valores:
lambda = 1.2510.26 approx 0.122
Isso significa que o modelo deve ser aproximadamente 12,2% do tamanho da aeronave real.

Resposta

A escala do modelo que deve ser testada no túnel de vento é de aproximadamente 12,2% do tamanho real da aeronave.

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