Está se estudando a taxa de queima de um propulsor de foguetes (que supõe-se normalmente distribuída). As especificações exigem que a taxa média de queima seja pelo menos
. Por meio de uma amostra aleatória de tamanho igual a 9 deseja-se realizar
alguns testes (todos com 95% de confiança) com uso dos dados amostrais:
Realize o teste de hipóteses
versus
e calcule a probabilidade de significância (p-value). Considere que a média amostral foi
e o desvio padrão populacional é
.
alguns testes (todos com 95% de confiança) com uso dos dados amostrais:
Realize o teste de hipóteses
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente está lidando com testes de hipóteses na estatística, especificamente usando a distribuição normal. A ideia é verificar se a média da taxa de queima de um propulsor de foguetes é pelo menos 40 cm/s, conforme especificado. Para isso, temos uma amostra de 9 foguetes com uma média de queima de 41 cm/s e um desvio padrão conhecido de 3 cm/s. Vamos realizar um teste de hipóteses com 95% de confiança e calcular a probabilidade de significância (p-value).
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (
) é que a média
da taxa de queima é menor ou igual a 40 cm/s. Já a hipótese alternativa (
) é que a média
é maior que 40 cm/s. Assim:
Passo 3
Como o desvio padrão populacional (
) é conhecido e a amostra é pequena (n = 9), vamos usar a distribuição normal para calcular o valor z. A fórmula para o z-score é:
Onde:
-
é a média amostral (41 cm/s) -
é a média hipotética (40 cm/s) -
é o desvio padrão populacional (3 cm/s) -
é o tamanho da amostra (9)
Passo 4
Vamos calcular o denominador da fórmula:
Então, nosso z-score fica:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a área à direita dessa pontuação z na distribuição normal padrão, já que nossa hipótese alternativa é
. Isso vai nos dar a p-value. Podemos usar uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora para isso.
Para
, a probabilidade acumulada até esse ponto é aproximadamente 0,8413. Como queremos a área à direita:
Passo 6
Com o p-value calculado, comparamos com o nível de significância. Como estamos usando 95% de confiança, o nível de significância é 5% (0,05). Se o p-value for menor que 0,05, rejeitamos a hipótese nula. Caso contrário, não rejeitamos.
No nosso caso,
, então não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
A probabilidade de significância (p-value) é aproximadamente 0,1587. Como esse valor é maior que 0,05, não rejeitamos a hipótese nula
:
cm/s. Ou seja, não há evidências suficientes para afirmar que a taxa média de queima é maior que 40 cm/s com 95% de confiança.