Está se estudando a taxa de queima de um propulsor de foguetes (que supõe-se normalmente distribuída). As especificações exigem que a taxa média de queima seja pelo menos 40 cm / s. Por meio de uma amostra aleatória de tamanho igual a 9 deseja-se realizar
alguns testes (todos com 95% de confiança) com uso dos dados amostrais:
Realize o teste de hipóteses H0: mu <= 40 cm / s versus H1: mu>40 cm / s e calcule a probabilidade de significância (p-value). Considere que a média amostral foi barx=41 cm / s e o desvio padrão populacional é sigma=3 cm / s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente está lidando com testes de hipóteses na estatística, especificamente usando a distribuição normal. A ideia é verificar se a média da taxa de queima de um propulsor de foguetes é pelo menos 40 cm/s, conforme especificado. Para isso, temos uma amostra de 9 foguetes com uma média de queima de 41 cm/s e um desvio padrão conhecido de 3 cm/s. Vamos realizar um teste de hipóteses com 95% de confiança e calcular a probabilidade de significância (p-value).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ( H0) é que a média mu da taxa de queima é menor ou igual a 40 cm/s. Já a hipótese alternativa ( H1) é que a média mu é maior que 40 cm/s. Assim:
H0: mu <= 40 cm/s H1: mu > 40 cm/s

Passo 3

Como o desvio padrão populacional ( sigma) é conhecido e a amostra é pequena (n = 9), vamos usar a distribuição normal para calcular o valor z. A fórmula para o z-score é:
z = barx - mu0sigma / raizn
Onde:
  • barx é a média amostral (41 cm/s)
  • mu0 é a média hipotética (40 cm/s)
  • sigma é o desvio padrão populacional (3 cm/s)
  • n é o tamanho da amostra (9)

Passo 4

Vamos calcular o denominador da fórmula:
sigma / raizn = 3 / raiz9 = 3 / 3 = 1
Então, nosso z-score fica:
z = 41 - 401 = 11 = 1

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a área à direita dessa pontuação z na distribuição normal padrão, já que nossa hipótese alternativa é mu > 40. Isso vai nos dar a p-value. Podemos usar uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora para isso.
Para z = 1, a probabilidade acumulada até esse ponto é aproximadamente 0,8413. Como queremos a área à direita:
p-value = 1 - 0,8413 = 0,1587

Passo 6

Com o p-value calculado, comparamos com o nível de significância. Como estamos usando 95% de confiança, o nível de significância é 5% (0,05). Se o p-value for menor que 0,05, rejeitamos a hipótese nula. Caso contrário, não rejeitamos.
No nosso caso, p-value = 0,1587 > 0,05, então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

A probabilidade de significância (p-value) é aproximadamente 0,1587. Como esse valor é maior que 0,05, não rejeitamos a hipótese nula H0: mu <= 40 cm/s. Ou seja, não há evidências suficientes para afirmar que a taxa média de queima é maior que 40 cm/s com 95% de confiança.

Exercícios relacionados