Suponha que temos uma amostra aleatória de 16 dias da temperatura média (em graus celsius) durante o verão, ao meio dia, para uma determinada cidade. Construa um intervalo de confiança de 95 % para a variância real da cidade ( sigma^2 ) durante essa estação ao meio dia. Use s=2 (graus celsius).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma amostra aleatória de 16 dias, onde medimos a temperatura média ao meio-dia durante o verão em uma certa cidade. O objetivo é construir um intervalo de confiança de 95% para a variância real das temperaturas nessa cidade nesse período. A gente sabe que a variância da amostra ( s^2) é 2 graus Celsius ao quadrado.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados à variância e distribuição qui-quadrado ( chi^2). A ideia é estimar o quanto a variância pode variar na população com base na nossa amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é variância. A variância mede o quanto os valores de um conjunto de dados estão espalhados em relação à média. No nosso caso, queremos saber quão variáveis são as temperaturas ao meio-dia durante o verão.
Como temos uma amostra de 16 dias, a gente pode usar a distribuição qui-quadrado para construir o intervalo de confiança para a variância da população. A distribuição qui-quadrado é apropriada aqui porque estamos lidando com a variância de uma população normal.

Passo 3

Agora, vamos aos números:
  • Tamanho da amostra ( n): 16
  • Variância da amostra ( s^2): 2 °C^2
  • Nível de confiança: 95%, o que significa que alpha = 0,05
Para construir o intervalo de confiança, precisamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado ( chi^2) que correspondem a alpha/2 e 1 - alpha/2 com n-1 graus de liberdade.

Passo 4

Calculando os graus de liberdade:
df = n - 1 = 16 - 1 = 15
Agora, vamos encontrar os valores críticos chi^2alpha/2 e chi^21 - alpha/2 para 15 graus de liberdade.
Usando uma tabela de qui-quadrado ou uma calculadora estatística, encontramos:
chi^20,025, 15 approx 6,262
chi^20,975, 15 approx 27,488

Passo 5

Com esses valores, podemos montar o intervalo de confiança para a variância sigma^2 usando a seguinte fórmula:
( (n-1)s^2chi^21 - alpha/2, df, (n-1)s^2chi^2alpha/2, df )
Substituindo os valores:
( 15 times 227,488, 15 times 26,262 )
Calculando cada parte:
3027,488 approx 1,092 , °C^2
306,262 approx 4,798 , °C^2

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a variância real das temperaturas ao meio-dia durante o verão nessa cidade é aproximadamente de 1,092 , °C^2 a 4,798 , °C^2.

Exercícios relacionados