Está se estudando a taxa de queima de um propulsor de foguetes (que supõe-se normalmente distribuída). As especificações exigem que a taxa média de queima seja pelo menos 40 cm / s. Por meio de uma amostra aleatória de tamanho igual a 9 deseja-se realizar
alguns testes (todos com 95% de confiança) com uso dos dados amostrais:
Suponha que o investigador desconheça a variância populacional. Realize o teste de hipóteses H0: sigma^2 <= 9 cm^2 / s^2 versus H1: sigma^2>9 cm^2 / s^2. Utilize o desvio padrão amostral s=2 cm / s(s^2=4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente está analisando a taxa de queima de um propulsor de foguete, que supostamente segue uma distribuição normal. Queremos garantir que a taxa média de queima seja pelo menos 40 , cm/s. Para isso, vamos realizar um teste de hipóteses sobre a variância dessa taxa de queima usando uma amostra de tamanho 9. Vamos precisar entender sobre testes de hipóteses para variância e usar a distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula ( H0) é que a variância populacional sigma^2 é menor ou igual a 9 , cm^2/s^2. A hipótese alternativa ( H1) é que a variância é maior que 9 , cm^2/s^2. Então, temos:
H0: sigma^2 <= 9 , cm^2/s^2 H1: sigma^2 > 9 , cm^2/s^2

Passo 3

Como estamos testando a variância e a distribuição dos dados é normal, usamos a distribuição qui-quadrado ( chi^2). O teste será unilateral à direita porque a hipótese alternativa busca verificar se a variância é maior.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste estatístico chi^2 usando a fórmula:
chi^2 = (n - 1) cdot s^2sigma0^2
Onde:
  • n = 9 (tamanho da amostra)
  • s^2 = 4 , cm^2/s^2 (variância amostral)
  • sigma0^2 = 9 , cm^2/s^2 (variância sob H0)
Substituindo os valores:
chi^2 = (9 - 1) cdot 49 = 8 cdot 49 = 329 approx 3,56

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição qui-quadrado com k = n - 1 = 8 graus de liberdade e nível de significância alpha = 0,05 (já que estamos com 95% de confiança). Usando tabelas de chi^2 ou uma calculadora, encontramos que:
chi^2crítico approx 15,507 í

Passo 6

Comparamos o valor do teste estatístico com o valor crítico:
chi^2 approx 3,56 < chi^2crítico approx 15,507 í

Passo 7

Como o valor do teste estatístico é menor que o valor crítico, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula H0.

Resposta

Não rejeitamos a hipótese nula. Com 95% de confiança, não há evidências de que a variância da taxa de queima seja maior que 9 , cm^2/s^2.

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