A resistência do concreto à compressão (que supõe-se normalmente distribuída) está sendo estudada e três técnicas diferentes (A, B e C) de misturas estão sendo avaliadas. Os seguintes dados foram coletados.
Resistência à Compressão (psi) | Técnica de Mistura |
---|---|
3129 | A |
3229 | A |
3200 | B |
3300 | B |
3300 | C |
3500 | C |
Avaliar se existe evidência que técnica de mistura influencia na média populacional da resistência à compressão. Ou seja, faça o teste de hipóteses
versus
:Caso Conrário. Use um nível de confiança igual a
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício sobre a resistência do concreto à compressão e quer saber se a técnica de mistura usada (A, B ou C) influencia nessa resistência. Para isso, vamos usar a ANOVA (Análise de Variância), que é um método estatístico que compara as médias de três ou mais grupos para ver se pelo menos uma delas é diferente das outras. Precisamos calcular as médias de cada técnica, a média geral, as somas dos quadrados entre os grupos e dentro dos grupos, os graus de liberdade, os quadrados médios, a estatística F e então comparar com o valor crítico para tomar uma decisão.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados:
- Técnica A: 3129, 3229
- Técnica B: 3200, 3300
- Técnica C: 3300, 3500
Passo 3
Vamos calcular a média de cada técnica:
- Média A: $ \mu_A = \frac{3129 + 3229}{2} = \frac{6358}{2} = 3179 $ psi
- Média B: $ \mu_B = \frac{3200 + 3300}{2} = \frac{6500}{2} = 3250 $ psi
- Média C: $ \mu_C = \frac{3300 + 3500}{2} = \frac{6800}{2} = 3400 $ psi
Passo 4
Agora, calculamos a média geral de todas as observações:
$ \mu_{Geral} = \frac{3129 + 3229 + 3200 + 3300 + 3300 + 3500}{6} = \frac{19658}{6} \approx 3276.33 $ psi
Passo 5
Vamos calcular a Soma dos Quadrados entre os Grupos (SSB):
$ SSB = n \times [(\mu_A - \mu_{Geral})^2 + (\mu_B - \mu_{Geral})^2 + (\mu_C - \mu_{Geral})^2] $
Aqui, $ n = 2 $ (número de observações por grupo).
$ SSB = 2 \times [(3179 - 3276.33)^2 + (3250 - 3276.33)^2 + (3400 - 3276.33)^2] $
Calculando cada termo:
- $ (3179 - 3276.33)^2 \approx ( -97.33 )^2 \approx 9475.3 $
- $ (3250 - 3276.33)^2 \approx ( -26.33 )^2 \approx 693.3 $
- $ (3400 - 3276.33)^2 \approx 123.67^2 \approx 15305.3 $
Então,
$ SSB = 2 \times (9475.3 + 693.3 + 15305.3) = 2 \times 25473.9 \approx 50947.8 $
Passo 6
Agora, calculamos a Soma dos Quadrados dentro dos Grupos (SSW):
$ SSW = \sum (x_{ij} - \mu_j)^2 $
Onde $ x_{ij} $ são as observações e $ \mu_j $ é a média do grupo j.
Para a Técnica A:
- $ (3129 - 3179)^2 = (-50)^2 = 2500 $
- $ (3229 - 3179)^2 = 50^2 = 2500 $
Para a Técnica B:
- $ (3200 - 3250)^2 = (-50)^2 = 2500 $
- $ (3300 - 3250)^2 = 50^2 = 2500 $
Para a Técnica C:
- $ (3300 - 3400)^2 = (-100)^2 = 10000 $
- $ (3500 - 3400)^2 = 100^2 = 10000 $
Somando tudo:
$ SSW = 2500 + 2500 + 2500 + 2500 + 10000 + 10000 = 30000 $
Passo 7
Agora, vamos determinar os graus de liberdade (GL):
-
GL entre grupos: $ k - 1 $, onde k é o número de grupos.
$ GL_{entre} = 3 - 1 = 2 $ -
GL dentro dos grupos: $ N - k $, onde N é o número total de observações.
$ GL_{dentro} = 6 - 3 = 3 $
Passo 8
Em seguida, calculamos os Quadrados Médios (QM):
- QM entre grupos: $ QM_{entre} = \frac{SSB}{GL_{entre}} = \frac{50947.8}{2} \approx 25473.9 $
- QM dentro dos grupos: $ QM_{dentro} = \frac{SSW}{GL_{dentro}} = \frac{30000}{3} = 10000 $
Passo 9
Agora, calculamos a estatística F:
$ F = \frac{QM_{entre}}{QM_{dentro}} = \frac{25473.9}{10000} \approx 2.547 $
Passo 10
Vamos encontrar o valor crítico de F para um nível de confiança de 95%, com $ GL_{entre} = 2 $ e $ GL_{dentro} = 3 $.
Consultando uma tabela de distribuição F ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico $ F_{crit} $ aproximadamente é 9.55.
Passo 11
Comparamos o valor calculado de F com o valor crítico:
- $ F \approx 2.547 $
- $ F_{crit} \approx 9.55 $
Como $ F_{calculado} < F_{crit} $, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidência suficiente para afirmar que a técnica de mistura influencia a média populacional da resistência à compressão do concreto ao nível de confiança de 95 %.