A resistência do concreto à compressão (que supõe-se normalmente distribuída) está sendo estudada e três técnicas diferentes (A, B e C) de misturas estão sendo avaliadas. Os seguintes dados foram coletados.
Resistência à Compressão (psi) Técnica de Mistura
3129 A
3229 A
3200 B
3300 B
3300 C
3500 C
Avaliar se existe evidência que técnica de mistura influencia na média populacional da resistência à compressão. Ou seja, faça o teste de hipóteses H0: muA=muB=muC versus H1 :Caso Conrário. Use um nível de confiança igual a 95 %.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício sobre a resistência do concreto à compressão e quer saber se a técnica de mistura usada (A, B ou C) influencia nessa resistência. Para isso, vamos usar a ANOVA (Análise de Variância), que é um método estatístico que compara as médias de três ou mais grupos para ver se pelo menos uma delas é diferente das outras. Precisamos calcular as médias de cada técnica, a média geral, as somas dos quadrados entre os grupos e dentro dos grupos, os graus de liberdade, os quadrados médios, a estatística F e então comparar com o valor crítico para tomar uma decisão.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados:
  • Técnica A: 3129, 3229
  • Técnica B: 3200, 3300
  • Técnica C: 3300, 3500

Passo 3

Vamos calcular a média de cada técnica:
  • Média A: $ \mu_A = \frac{3129 + 3229}{2} = \frac{6358}{2} = 3179 $ psi
  • Média B: $ \mu_B = \frac{3200 + 3300}{2} = \frac{6500}{2} = 3250 $ psi
  • Média C: $ \mu_C = \frac{3300 + 3500}{2} = \frac{6800}{2} = 3400 $ psi

Passo 4

Agora, calculamos a média geral de todas as observações:
$ \mu_{Geral} = \frac{3129 + 3229 + 3200 + 3300 + 3300 + 3500}{6} = \frac{19658}{6} \approx 3276.33 $ psi

Passo 5

Vamos calcular a Soma dos Quadrados entre os Grupos (SSB):
$ SSB = n \times [(\mu_A - \mu_{Geral})^2 + (\mu_B - \mu_{Geral})^2 + (\mu_C - \mu_{Geral})^2] $
Aqui, $ n = 2 $ (número de observações por grupo).
$ SSB = 2 \times [(3179 - 3276.33)^2 + (3250 - 3276.33)^2 + (3400 - 3276.33)^2] $
Calculando cada termo:
  • $ (3179 - 3276.33)^2 \approx ( -97.33 )^2 \approx 9475.3 $
  • $ (3250 - 3276.33)^2 \approx ( -26.33 )^2 \approx 693.3 $
  • $ (3400 - 3276.33)^2 \approx 123.67^2 \approx 15305.3 $
Então,
$ SSB = 2 \times (9475.3 + 693.3 + 15305.3) = 2 \times 25473.9 \approx 50947.8 $

Passo 6

Agora, calculamos a Soma dos Quadrados dentro dos Grupos (SSW):
$ SSW = \sum (x_{ij} - \mu_j)^2 $
Onde $ x_{ij} $ são as observações e $ \mu_j $ é a média do grupo j.
Para a Técnica A:
  • $ (3129 - 3179)^2 = (-50)^2 = 2500 $
  • $ (3229 - 3179)^2 = 50^2 = 2500 $
Para a Técnica B:
  • $ (3200 - 3250)^2 = (-50)^2 = 2500 $
  • $ (3300 - 3250)^2 = 50^2 = 2500 $
Para a Técnica C:
  • $ (3300 - 3400)^2 = (-100)^2 = 10000 $
  • $ (3500 - 3400)^2 = 100^2 = 10000 $
Somando tudo:
$ SSW = 2500 + 2500 + 2500 + 2500 + 10000 + 10000 = 30000 $

Passo 7

Agora, vamos determinar os graus de liberdade (GL):
  • GL entre grupos: $ k - 1 $, onde k é o número de grupos.
    $ GL_{entre} = 3 - 1 = 2 $
  • GL dentro dos grupos: $ N - k $, onde N é o número total de observações.
    $ GL_{dentro} = 6 - 3 = 3 $

Passo 8

Em seguida, calculamos os Quadrados Médios (QM):
  • QM entre grupos: $ QM_{entre} = \frac{SSB}{GL_{entre}} = \frac{50947.8}{2} \approx 25473.9 $
  • QM dentro dos grupos: $ QM_{dentro} = \frac{SSW}{GL_{dentro}} = \frac{30000}{3} = 10000 $

Passo 9

Agora, calculamos a estatística F:
$ F = \frac{QM_{entre}}{QM_{dentro}} = \frac{25473.9}{10000} \approx 2.547 $

Passo 10

Vamos encontrar o valor crítico de F para um nível de confiança de 95%, com $ GL_{entre} = 2 $ e $ GL_{dentro} = 3 $.
Consultando uma tabela de distribuição F ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico $ F_{crit} $ aproximadamente é 9.55.

Passo 11

Comparamos o valor calculado de F com o valor crítico:
  • $ F \approx 2.547 $
  • $ F_{crit} \approx 9.55 $
Como $ F_{calculado} < F_{crit} $, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para afirmar que a técnica de mistura influencia a média populacional da resistência à compressão do concreto ao nível de confiança de 95 %.

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