Em uma experiência com um pêndulo cuja massa é \mathrm{m}=50,00 \mathrm{~g}, obteve-se os seguintes valores para a amplitude de oscilação (x) em função do tempo (t):
\mathrm{X} \pm 0,2(\mathrm{~cm}) 43,8 27,5 15,5 8,4 4,6
\mathrm{~T} \pm 0,01(\mathrm{~s}) 158,53 290,23 490,42 670,92 851,13
Considerando que o pêndulo executa um movimento harmônico amortecido, esperase que a amplitude varie em função do tempo segundo a equação X=A e^{-b t / m}, onde A é a amplitude inicial e b é o fator de amortecimento.
(a) Faça o gráfico X=f(T)
(b) Determine a amplitude inicial A e o fator de amortecimento b.
(c) Utilize a equação encontrada para determinar o tempo de oscilação para X= A/2.

Passo 1

O enunciado fornece as medidas da amplitude X (em \mathrm{cm}) em função do tempo t (em \mathrm{s}) para um pêndulo amortecido de massa m=50{,}00\,\mathrm{g}. O modelo teórico é
X(t)=A\,e^{-\,\frac{b}{m}t},
onde A é a amplitude inicial e b é o coeficiente de amortecimento. Vamos (a) esboçar o gráfico X versus t, (b) linearizar para determinar A e b, e (c) calcular o tempo em que X=A/2.

Passo 2

Para extrair A e b fazemos a mudança de variável
\ln X = \ln A - \frac{b}{m}\,t,
de modo que, ao traçar \ln X em função de t, obtemos uma reta de coeficiente angular -\,b/m e intercepto \ln A.

Passo 3

Calculamos \ln X para cada par (t,X):
\begin{array}{c|c|c} t\;(\mathrm{s}) & X\;(\mathrm{cm}) & \ln X \\\ \hline 158{,}53 & 43{,}8 & 3{,}78\\\\ 290{,}23 & 27{,}5 & 3{,}31\\\\ 490{,}42 & 15{,}5 & 2{,}74\\\\ 670{,}92 & 8{,}4 & 2{,}13\\\\ 851{,}13 & 4{,}6 & 1{,}53 \end{array}
No gráfico com eixo horizontal t e vertical \ln X, esses pontos alinham-se aproximadamente em reta decrescente.

Passo 4

Usando os pontos extremos para ajuste aproximado,
\text{slope }D \approx \frac{1{,}53-3{,}78}{851{,}13-158{,}53} = -0{,}00326\\ \mathrm{s^{-1}},
e o intercepto
C = \ln A \approx 3{,}78 - (-0{,}00326)\times158{,}53 =4{,}30.

Passo 5

Da reta \ln X = C + D\,t temos
A = e^{C}\approx e^{4{,}30}=73{,}6\\ \mathrm{cm},
e como D=-\,b/m com m=50{,}00\\ \mathrm{g},
b = -D\,m \approx 0{,}00326\times50{,}00 =0{,}163\\ \mathrm{g/s}.

Passo 6

Para X=A/2 basta resolver
\frac{A}{2}=A\,e^{-\,\frac{b}{m}t_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad t_{1/2} = \frac{m}{b}\ln 2 = \frac{50{,}00}{0{,}163}\times0{,}693 \approx212{,}4\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) Gráfico de X versus t apresenta decaimento exponencial (ver tabela e linearização de \ln X em função de t).
(b) A\approx73{,}6\\ \mathrm{cm} e b\approx0{,}163\\ \mathrm{g/s}.
(c) t para X=A/2 é aproximadamente 212{,}4\\ \mathrm{s}.

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