Um estudante de engenharia cuja massa é 83 kg está pendurado por uma corda de bungee jump com constante elástica de 270 N / m. Ele é puxado para baixo, até um ponto em que a corda está 5,0 m mais comprida do que seu comprimento nãoesticado, e depois é liberado. Qual a será a posição e o valor de sua velocidade 2,0 s mais tarde?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um estudante de engenharia com massa de 83 kg que está pendurado numa corda de bungee jump com uma constante elástica de 270 , N/m. Ele é puxado para baixo até a corda esticar 5,0 metros além do seu comprimento original e então é solto. A gente precisa descobrir em que posição ele estará e qual será a sua velocidade 2,0 segundos depois de ser solto. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento harmônico simples (MHS) e **leis da física que envolvem elasticidade e forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a corda de bungee funciona como uma mola. A constante elástica k é dada por 270 , N/m. Quando o estudante é puxado para baixo, a corda armazena energia potencial elástica.

Passo 3

A posição do estudante ao longo do tempo em um movimento harmônico simples pode ser descrita pela função:
x(t) = A cos(omega t + phi)
onde:
  • A é a amplitude do movimento (5,0 m, já que essa é a máxima extensão inicial),
  • omega é a frequência angular,
  • phi é a fase inicial.
Como ele é solto a partir da máxima extensão, a fase inicial phi é 0. Portanto:
x(t) = A cos(omega t)

Passo 4

Para encontrar omega, usamos a fórmula da frequência angular para um sistema massa-mola:
omega = raizkm
Substituindo os valores:
omega = raiz270 , N/m83 , kg approx raiz3,253 approx 1,805 , rad/s

Passo 5

Agora, vamos encontrar a posição x(2) no tempo t = 2,0 , s:
x(2) = 5,0 , m times cos(1,805 times 2,0)
Calculando:
1,805 times 2,0 = 3,61 , rad
cos(3,61) approx -0,899
x(2) = 5,0 times (-0,899) approx -4,495 , m
O sinal negativo indica que ele está 4,495 m acima da posição de equilíbrio.

Passo 6

Para achar a velocidade, usamos a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = -A omega sin(omega t)
Substituindo os valores:
v(2) = -5,0 times 1,805 times sin(1,805 times 2,0)
v(2) = -9,025 times sin(3,61) approx -9,025 times (-0,436) approx 3,93 , m/s
A velocidade positiva indica que ele está se movendo para baixo.

Resposta

Após 2,0 segundos, o estudante estará a aproximadamente -4,50 metros da posição de equilíbrio e sua velocidade será de 3,93 m/s para baixo.

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