Uma partícula de massa m descreve um círculo horizontal de raio r sobre uma mesa áspera. A partícula está presa por um fio horizontal ao centro do círculo. Inicialmente a velocidade é v0. Depois de uma volta completa, a velocidade é v0 / 2. (b) Qual é o coeficiente de atrito cinemático?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa m que está se movendo em um círculo horizontal de raio r, presa por um fio ao centro. No começo, a velocidade dela é v₀ e, depois de dar uma volta completa, a velocidade diminui para v₀/2. Nosso objetivo aqui é encontrar o coeficiente de atrito cinemático (μₖ) que está agindo sobre a partícula. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular, energia cinética e trabalho da força de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética inicial da partícula. A fórmula da energia cinética (Eₖ) é:
Eₖ = 12 m v² ²
Então, inicialmente, temos:
Eₖinicial = 12 m v₀² ²

Passo 3

Depois de uma volta completa, a velocidade da partícula é v₀/2. Vamos calcular a energia cinética final:
Eₖfinal = 12 m (v₀2)^2 = 12 m v₀²4 = 18 m v₀² ²²

Passo 4

A diferença entre a energia cinética inicial e final é a energia perdida por causa do atrito. Essa perda de energia é igual ao trabalho realizado pela força de atrito (Wₖ). O trabalho da força de atrito quando a partícula percorre uma volta completa (comprimento da circunferência 2πr) é:
Wₖ = muₖ m g cdot 2pi r
A mudança na energia cinética é:
De²²²
Como o trabalho da força de atrito é igual à mudança na energia cinética:
muₖ m g cdot 2pi r = 38 m v₀² ²

Passo 5

Agora, vamos resolver para μₖ. Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por m:
muₖ g cdot 2pi r = 38 v₀² ²
Isolando μₖ:
muₖ = 3 v₀²16 pi r g ²

Resposta

O coeficiente de atrito cinemático é:
muₖ = 3 v₀²16 pi r g ²

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