Uma haste leve e rígida, de comprimento I tem uma massa m ligada à extremidade, formando um pêndulo simples. Ela é invertida e a seguir largada. © A que ângulo da vertical a tração na suspensão será igual ao peso?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma haste leve e rígida com comprimento $ I $ e uma massa $ m $ na ponta, formando um pêndulo simples. A haste é virada de cabeça para baixo e solta. A pergunta é: em que ângulo em relação à vertical a tração na suspensão será igual ao peso da massa? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em movimento circular e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam na massa quando ela está em um certo ângulo $ \theta $ da vertical. Temos duas forças principais: a tensão $ T $ na haste (que puxa para cima) e o peso $ mg $ da massa (que puxa para baixo). Quando a massa está se movendo, ela está em movimento circular, então há uma aceleração centrípeta direcionada para o centro da trajetória.

Passo 3

Vamos decompor as forças na direção radial (para o centro do círculo) e na direção tangencial (perpendicular à radial). Na direção radial, a força resultante é a diferença entre a tensão $ T $ e a componente do peso $ mg \cos\theta $, que é igual à massa vezes a aceleração centrípeta $ \frac{v^2}{I} $. A equação fica:
T

Passo 4

Queremos descobrir em que ponto a tensão $ T $ é igual ao peso $ mg $. Substituindo $ T = mg $ na equação acima, temos:
T
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por $ m $:
mg

Passo 5

Agora, precisamos relacionar a velocidade $ v $ da massa no ângulo $ \theta $ com a energia do sistema. Usamos a conservação de energia: a energia potencial perdida desde a posição invertida se transforma em energia cinética. A altura da massa em relação à posição vertical é $ I(1 - \cos\theta) $, então a energia potencial é $ mgh = mgI(1 - \cos\theta) $.
A energia cinética é $ \frac{1}{2}mv^2 $. Igualando as energias:
v
Podemos simplificar cancelando $ m $:
theta

Passo 6

Agora, resolvemos a equação da aceleração centrípeta substituindo $ v^2 $ da equação de energia:
v^2
Simplificando:
g - g costheta = 2gI(1 - costheta)I = 2g(1 - costheta)
g - g costheta = 2g - 2g costheta
g costheta = 2g costheta - g
g = g costheta

Resposta

O ângulo $ \theta $ em que a tração na suspensão é igual ao peso é $ \theta = 0^\circ $, ou seja, quando a haste está na posição vertical.

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