Uma haste leve e rígida, de comprimento I tem uma massa
ligada à extremidade, formando um pêndulo simples. Ela é invertida e a seguir largada. © A que ângulo da vertical a tração na suspensão será igual ao peso?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma haste leve e rígida com comprimento $ I $ e uma massa $ m $ na ponta, formando um pêndulo simples. A haste é virada de cabeça para baixo e solta. A pergunta é: em que ângulo em relação à vertical a tração na suspensão será igual ao peso da massa? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em movimento circular e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam na massa quando ela está em um certo ângulo $ \theta $ da vertical. Temos duas forças principais: a tensão $ T $ na haste (que puxa para cima) e o peso $ mg $ da massa (que puxa para baixo). Quando a massa está se movendo, ela está em movimento circular, então há uma aceleração centrípeta direcionada para o centro da trajetória.
Passo 3
Vamos decompor as forças na direção radial (para o centro do círculo) e na direção tangencial (perpendicular à radial). Na direção radial, a força resultante é a diferença entre a tensão $ T $ e a componente do peso $ mg \cos\theta $, que é igual à massa vezes a aceleração centrípeta $ \frac{v^2}{I} $. A equação fica:
Passo 4
Queremos descobrir em que ponto a tensão $ T $ é igual ao peso $ mg $. Substituindo $ T = mg $ na equação acima, temos:
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por $ m $:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar a velocidade $ v $ da massa no ângulo $ \theta $ com a energia do sistema. Usamos a conservação de energia: a energia potencial perdida desde a posição invertida se transforma em energia cinética. A altura da massa em relação à posição vertical é $ I(1 - \cos\theta) $, então a energia potencial é $ mgh = mgI(1 - \cos\theta) $.
A energia cinética é $ \frac{1}{2}mv^2 $. Igualando as energias:
Podemos simplificar cancelando $ m $:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação da aceleração centrípeta substituindo $ v^2 $ da equação de energia:
Simplificando:
Resposta
O ângulo $ \theta $ em que a tração na suspensão é igual ao peso é $ \theta = 0^\circ $, ou seja, quando a haste está na posição vertical.