Uma partícula de massa m descreve um círculo horizontal de raio r sobre uma mesa áspera. A partícula está presa por um fio horizontal ao centro do círculo. Inicialmente a velocidade é v0. Depois de uma volta completa, a velocidade é v0 / 2. © Quantas voltas a partícula fará antes de chegar ao repouso?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos diz que uma partícula de massa $ m $ está se movendo em um círculo horizontal de raio $ r $ sobre uma mesa áspera, presa por um fio ao centro. Inicialmente, ela tem uma velocidade $ v_0 $ e, depois de uma volta completa, sua velocidade reduz para $ \frac{v_0}{2} $. Agora, queremos descobrir quantas voltas a partícula fará antes de parar completamente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular e as forças envolvidas, especialmente a força de atrito que está desacelerando a partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a velocidade da partícula está diminuindo. A mesa é áspera, o que significa que há atrito agindo contra o movimento da partícula. Esse atrito faz com que a partícula perca energia e, consequentemente, diminua sua velocidade ao longo das voltas.

Passo 3

Vamos considerar a força de atrito $ f $ que atua contra o movimento da partícula. Essa força é dada por:
f
onde $ \mu $ é o coeficiente de atrito e $ N $ é a força normal. Como o movimento é horizontal e não há aceleração vertical, $ N = mg $, então:
f = mu N

Passo 4

A força de atrito faz um trabalho que tira energia cinética da partícula. A energia cinética inicial é:
Ecin, inicial = 12 m v0^2
Após uma volta, a velocidade é $ \frac{v_0}{2} $, então a energia cinética é:
v02
A diferença de energia é o trabalho realizado pela força de atrito:
Ecin, final = 12 m ( v02 )^2 = 18 m v0^2

Passo 5

O trabalho realizado pela força de atrito também pode ser calculado como:
W = f cdot s
onde $ s $ é a distância percorrida. Em uma volta completa, a distância é a circunferência do círculo:
s
Então:
s = 2pi r
Podemos simplificar $ m $ dos dois lados:
38 m v0^2 = mu mg cdot 2pi r

Passo 6

Agora, vamos generalizar para $ n $ voltas. A cada volta, a velocidade é reduzida pela metade. Após $ n $ voltas, a velocidade será:
n
A energia cinética após $ n $ voltas é:
n
Queremos que $ E_{cin, n} = 0 $, ou seja, a partícula pare completamente.

Passo 7

No entanto, matematicamente, $ \frac{v_0}{2^n} $ nunca será exatamente zero para qualquer valor finito de $ n $. Isso sugere que a partícula nunca para completamente, mas a velocidade se aproxima de zero conforme $ n $ aumenta.
Porém, na prática, há um ponto em que a velocidade é suficientemente pequena para considerar que a partícula parou. Vamos assumir que a partícula para quando a velocidade cai abaixo de um limiar mínimo, mas como a questão não especifica esse limiar, podemos dizer que teoricamente, a partícula faz infinitas voltas antes de parar completamente.

Resposta

A partícula fará infinitas voltas antes de chegar ao repouso completo.

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