Sobre uma mesa lisa, se encontra um anel de borracha de massa m que gira com velocidade angular Omega em relaçäo à mesa.
Caso o anel seja esticado radialmente em todas as direçōes e depois solto, começará a oscilar. Determine o periodo dessas oscilações. Considere k a constante elástica do anel e que 0 momento angular do anel se conserva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um anel de borracha que está girando sobre uma mesa sem atrito com uma certa velocidade angular . A ideia é entender o que acontece quando a gente estica esse anel radialmente e depois solta, fazendo ele oscilar. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de momento angular, conservação do momento angular e movimento harmônico simples. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular ( L = I cdot omega ) de um objeto em rotação é dado por:
I = m cdot r^2
onde L = m cdot r^2 cdot Omega é o momento de inércia e é a velocidade angular.
Para um anel de massa e raio , o momento de inércia é:
Então, o momento angular inicial é:

Passo 3

Quando o anel é esticado radialmente, seu raio muda para L = m cdot (r + x)^2 cdot omega = m cdot r^2 cdot Omega , onde é a pequena variação do raio devido ao esticamento. Como não tem atrito, o momento angular é conservado. Então:

Passo 4

Vamos expandir (r + x)^2 approx r^2 + 2r cdot x e considerar que m cdot (r^2 + 2r cdot x) cdot omega = m cdot r^2 cdot Omega é pequeno, então podemos ignorar os termos de ordem superior:
(r^2 + 2r cdot x) cdot omega = r^2 cdot Omega
Substituindo na conservação do momento angular:
omega approx Omega (1 - 2xr)
Cancelando e rearranjando:

Passo 5

Agora, vamos pensar nas forças que agem no anel. A força elástica que puxa o anel de volta ao seu raio original é dada por:
F = -k cdot x
Essa força causa uma aceleração radial que resulta em oscilações.

Passo 6

A aceleração radial ( m cdot d^2xdt^2 = -k cdot x ) pode ser relacionada à segunda derivada de omegaosc = raizkm em relação ao tempo:
Isso é a equação do movimento harmônico simples, onde a solução é uma oscilação com frequência angular:

Passo 7

O período ( T = 2piomegaosc = 2pi raizmk ) das oscilações é o inverso da frequência:

Resposta

O período das oscilações é .

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