Sobre uma mesa lisa, se encontra um anel de borracha de massa
que gira com velocidade angular
em relaçäo à mesa.
Caso o anel seja esticado radialmente em todas as direçōes e depois solto, começará a oscilar. Determine o periodo dessas oscilações. Considere
a constante elástica do anel e que 0 momento angular do anel se conserva.
Caso o anel seja esticado radialmente em todas as direçōes e depois solto, começará a oscilar. Determine o periodo dessas oscilações. Considere
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um anel de borracha que está girando sobre uma mesa sem atrito com uma certa velocidade angular
. A ideia é entender o que acontece quando a gente estica esse anel radialmente e depois solta, fazendo ele oscilar. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de momento angular, conservação do momento angular e movimento harmônico simples. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular (
) de um objeto em rotação é dado por:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Para um anel de massa
e raio
, o momento de inércia é:
Então, o momento angular inicial é:
Passo 3
Quando o anel é esticado radialmente, seu raio muda para
, onde
é a pequena variação do raio devido ao esticamento. Como não tem atrito, o momento angular é conservado. Então:
Passo 4
Vamos expandir
e considerar que
é pequeno, então podemos ignorar os termos de ordem superior:
Substituindo na conservação do momento angular:
Cancelando
e rearranjando:
Passo 5
Agora, vamos pensar nas forças que agem no anel. A força elástica que puxa o anel de volta ao seu raio original é dada por:
Essa força causa uma aceleração radial que resulta em oscilações.
Passo 6
A aceleração radial (
) pode ser relacionada à segunda derivada de
em relação ao tempo:
Isso é a equação do movimento harmônico simples, onde a solução é uma oscilação com frequência angular:
Passo 7
O período (
) das oscilações é o inverso da frequência:
Resposta
O período das oscilações é
.