A supercondutividade foi originalmente observada em metais, quando alguns metais são resfriados a baixas temperaturas T e campo magnético B. Os calores específicos destas duas fases, no limite de campo magnético nulo, são
Cs(T)=V alpha T^3 & fase supercondutora Cn(T)=V[beta T^3+gamma T] & fase normal
Obtenha o gap de energia De em termos de alpha, beta e gamma. Para isso, compare as energias livres de Gibbs de cada fase.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas fases de um metal: a fase supercondutora e a fase normal. Cada uma dessas fases tem um calor específico diferente, dependendo da temperatura $ T $. A gente precisa encontrar o “gap” de energia $ \Delta $ usando os parâmetros $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $ que aparecem nas expressões dos calores específicos. Para isso, vamos comparar as energias livres de Gibbs das duas fases. Vamos precisar lembrar como relacionar calor específico com energia livre e aplicar um pouco de termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a energia livre de Gibbs. Ela é dada por:
G = U - T S
onde $ U $ é a energia interna, $ T $ é a temperatura e $ S $ é a entropia. Para dois estados em equilíbrio, as energias livres são iguais.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar o calor específico $ C $ com a entropia $ S $. Sabemos que:
C
Isso significa que podemos obter a entropia integrando o calor específico dividido pela temperatura:
S

Passo 4

Vamos aplicar isso às duas fases. Primeiro, para a fase supercondutora:
Cs(T) = V alpha T^3
Então, a entropia $ S_s $ será:
Ss

Passo 5

Agora, para a fase normal:
Cn(T) = V (beta T^3 + gamma T)
A entropia $ S_n $ é:
Sn

Passo 6

Como as energias livres das duas fases são iguais no ponto de transição, temos:
Gs = Gn
Substituindo a expressão da energia livre:
Us - T Ss = Un - T Sn
A diferença de energia interna $ U $ pode ser relacionada ao calor específico pela expressão:
U

Passo 7

Vamos calcular $ U_s $ e $ U_n $:
Para a fase supercondutora:
Us
Para a fase normal:
Un

Passo 8

Substituindo $ U_s $, $ U_n $, $ S_s $ e $ S_n $ na igualdade das energias livres:
Us
Simplificando ambos os lados:
Un

Passo 9

Vamos simplificar os termos:
Para o lado esquerdo:
14 - 13 = -112 Rightarrow V alpha ( -T^412 ) = -V alpha T^412
Para o lado direito:
beta ( 14 - 13 ) T^4 + gamma ( 12 - 1 ) T^2 = beta ( -112 ) T^4 + gamma ( -12 ) T^2 = -beta T^412 - gamma T^22
Então, temos:
-V alpha T^412 = -V beta T^412 - V gamma T^22

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por -12/V para simplificar:
alpha T^4 = beta T^4 + 6 gamma T^2
Rearranjando:
(alpha - beta) T^4 = 6 gamma T^2
Dividindo ambos os lados por $ T^2 $ (assumindo $ T \neq 0 $):
T^2

Passo 11

Agora, estamos buscando o gap de energia $ \Delta $. Na supercondutividade, o gap é relacionado à diferença de energias entre as fases. Aqui, após simplificar, temos:
De
Resolvendo para $ T^2 $:
(alpha - beta) T^2 = 6 gamma
Assumindo que o gap $ \Delta $ é proporcional a $ T $, podemos relacionar:
T^2
onde $ k $ é uma constante que pode ser associada aos coeficientes fornecidos.
No entanto, pela relação encontrada, podemos expressar $ \Delta $ em termos de $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $:
T^2 = 6 gammaalpha - beta

Resposta

O gap de energia $ \Delta $ em termos de $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $ é dado por:
De

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