A supercondutividade foi originalmente observada em metais, quando alguns metais são resfriados a baixas temperaturas
e campo magnético
. Os calores específicos destas duas fases, no limite de campo magnético nulo, são
Obtenha o gap de energia
em termos de
,
e
. Para isso, compare as energias livres de Gibbs de cada fase.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas fases de um metal: a fase supercondutora e a fase normal. Cada uma dessas fases tem um calor específico diferente, dependendo da temperatura $ T $. A gente precisa encontrar o “gap” de energia $ \Delta $ usando os parâmetros $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $ que aparecem nas expressões dos calores específicos. Para isso, vamos comparar as energias livres de Gibbs das duas fases. Vamos precisar lembrar como relacionar calor específico com energia livre e aplicar um pouco de termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a energia livre de Gibbs. Ela é dada por:
onde $ U $ é a energia interna, $ T $ é a temperatura e $ S $ é a entropia. Para dois estados em equilíbrio, as energias livres são iguais.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar o calor específico $ C $ com a entropia $ S $. Sabemos que:
Isso significa que podemos obter a entropia integrando o calor específico dividido pela temperatura:
Passo 4
Vamos aplicar isso às duas fases. Primeiro, para a fase supercondutora:
Então, a entropia $ S_s $ será:
Passo 5
Agora, para a fase normal:
A entropia $ S_n $ é:
Passo 6
Como as energias livres das duas fases são iguais no ponto de transição, temos:
Substituindo a expressão da energia livre:
A diferença de energia interna $ U $ pode ser relacionada ao calor específico pela expressão:
Passo 7
Vamos calcular $ U_s $ e $ U_n $:
Para a fase supercondutora:
Para a fase normal:
Passo 8
Substituindo $ U_s $, $ U_n $, $ S_s $ e $ S_n $ na igualdade das energias livres:
Simplificando ambos os lados:
Passo 9
Vamos simplificar os termos:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Então, temos:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por -12/V para simplificar:
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por $ T^2 $ (assumindo $ T \neq 0 $):
Passo 11
Agora, estamos buscando o gap de energia $ \Delta $. Na supercondutividade, o gap é relacionado à diferença de energias entre as fases. Aqui, após simplificar, temos:
Resolvendo para $ T^2 $:
Assumindo que o gap $ \Delta $ é proporcional a $ T $, podemos relacionar:
onde $ k $ é uma constante que pode ser associada aos coeficientes fornecidos.
No entanto, pela relação encontrada, podemos expressar $ \Delta $ em termos de $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $:
Resposta
O gap de energia $ \Delta $ em termos de $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $ é dado por: